Question

Цилиндр массой m=8кг и радиуса R=0,5м начинает катиться без скольжения вверх по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту а=60 °. Найти высоту, на которую поднимется цилиндр при начальной скорости V0=1м/сg=9,8 м/с²Ответ округлить до 1 знака после ома.​

Answer 1

Цилиндр обладает поступательным и вращательным движениями. При поступательном движении на него будут действовать N, mg, и Fтр. кач. То есть, второй закон Ньютона будет:

N + mg + Fтр. кач. = ma

При вращательном движении на цилиндр действуют моменты тех же сил:

M (N) + M (mg) + M (Fтр. кач.) = I*ε,

где I - момент инерции, а ε - угловое ускорение.

Нам в итоге надо найти ускорение, с которым поднимается цилиндр по наклонной плоскости, чтобы потом использовать его для нахождения пути, который пройдёт цилиндр. А зная путь и угол наклона, можно высчитать высоту.

Разберёмся с проекциями сил. Направим ось Y сонаправленно с вектором силы реакции опоры N. А вектор силы трения качения Fтр. кач. будет противонаправлен оси Х (направление оси - в сторону спуска, т.к. цилиндр замедляется, то результирующая сила направлена туда же, куда и ускорение). Тогда сила тяжести mg будет складываться из вертикальной составляющей mg*cos α и горизонтальной mg*sin α.

N - mg*cos α = ma = 0 => N = mg*cos α

mg*sin α - Fтр. кач. = ma

Формула силы трения качения:

Fтр. кач. = μN / R, тогда

mg*sin α - μN / R = mg*sin α - (μ*mg*cos α) / R = mg*sin α - (μ/R)*mg*cos α = mg(sin α - (μ/R)*cos α) = ma | : m

g(sin α - (μ/R)*cos α) = a

Для вращательного движения возьмём ось Z, которая будет совпадать с осью цилиндра. Моменты сил N и mg обращаются в нуль, т.к. их плечи равны нулю. Остаётся только момент силы трения качения:

M (Fтр. кач.) = I*ε

Fтр. кач. * R = I*ε

Формула момента инерции цилиндра:

I = mR²/2, тогда

(μN / R) * R = ε*mR²/2

μN = ε*mR²/2

μ*mg*cos α = (ε*mR/2)*R | : (R*mg*cos α)

μ/R = ε*R / 2g*cos α

ε*R = а - формула линейного ускорения, значит

μ/R = а / 2g*cos α

Подставляем значение μ/R в полученную ранее формулу ускорения:

а = g(sin α - (а / 2g*cos α)*cos α) = g(sin α - (а / 2g)) = g*sin α - (а/2)

a + (а/2) = g*sin α

(3/2)a = g*sin α

a = (2g*sin α) / 3

Теперь можно найти путь, который пройдёт цилиндр. Когда он достигнет точки, в которой больше не будет двигаться вперёд, его скорость V будет равна нулю. Используем следующую формулу пути:

S = (V² - V²нач.) / 2а = - 3V²нач. / (2*2g*sin α)

Т.к. ускорение у нас всё равно отрицательное (потому что движение цилиндра равнозамедленное), можно избавиться от знака "минус" перед квадратом скорости:

S = 3V²нач. / (4g*sin α)

Нашли. Если из той точки, в которой цилиндр остановится, опустить к основанию наклонной плоскости перпендикуляр, то получится треугольник. Гипотенузой будет путь, а противолежащим катетом - высота. Известно, что отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу. Тогда выразим катет, то есть высоту:

sin α = h/S => h = S*sin α

Готово. Теперь можно подставить в формулу значение пути и найти значение высоты.

h = S*sin α = (3V²нач. / (4g*sin α))*sin α = 3V²нач. / 4g = 3*1² / 4*9,8 = 3/39,2 = 0,07653... = 0,077 м или 7,7 см. В вопросе сказано округлить до первого знака после запятой, я так понимаю. Тогда 0,1 м.

Задачу можно гораздо проще решить через закон сохранения энергии. Мы знаем, что та потенциальная энергия, которой будет обладать цилиндр, когда поднимется до мёртвой точки, равна его кинетической в начале пути. Эта кинетическая складывается из энергий поступательного и вращательного движений:

Екин. = (mv²/2) + (I*w²/2),

где I - момент инерции цилиндра, а w - его угловая скорость. Момент инерции цилиндра равен

I = mR²/2, а угловая скорость равна

w = v/R, тогда

Екин. = (mv²/2) + (I*w²/2) = (mv²/2) + (mR²*v²/2*2*R²) = (mv²/2) + (mv²/4) = 3mv²/4

Екин. = Епотенц. => 3mv²/4 = mgh | : m

3v²/4 = gh

h = 3v²/4g = 0,1 м

Answer 2

Решение:

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения энергии.

Первым шагом определим, какая часть начальной кинетической энергии цилиндра превратится в потенциальную энергию при его подъеме на высоту h.

Известно, что начальная кинетическая энергия (K) равна:

K = (1/2) * m * V0^2

где m - масса цилиндра, V0 - начальная скорость.

Также, потенциальная энергия (U) равна:

U = m * g * h

где g - ускорение свободного падения, h - высота подъема.

Поскольку на наклонной плоскости нет потери энергии из-за трения (каток без скольжения), то сумма начальной кинетической энергии и потенциальной энергии должна оставаться постоянной:

K + U = const

Подставим значения и решим уравнение для h:

(1/2) * m * V0^2 + m * g * h = const

(1/2) * m * V0^2 + m * g * h = (1/2) * m * V0^2 + m * g * h0

где h0 - начальная высота цилиндра.

Так как цилиндр начинает движение с покоя, то его начальная высота равна нулю:

h0 = 0

Тогда уравнение примет вид:

(1/2) * m * V0^2 + m * g * h = (1/2) * m * V0^2

Упростим уравнение:

m * g * h = (1/2) * m * V0^2

Теперь найдем высоту h:

h = (1/2) * V0^2 / g

Подставим значения:

h = (1/2) * 1^2 / 9.8

h = 0.051 м

Ответ: Высота, на которую поднимется цилиндр, составляет примерно 0.051 метра (округлено до 1 знака после запятой).