Question

Помогите пожалуйста решить 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными: dy=y(3x(в квадрате) -1) dx 2. Найти частное решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными: a) y'= x+3x( в квадрате) , если y(2) = 5; б) 5y'-4y=0 , если y(0) = 1;

Answer 1

Ответ:

1237900007788866777777777

Answer 2

1. Найдем общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:

dy = y(3x^2 - 1) dx

Сначала разделим переменные, переместив все члены, содержащие y, влево, а все члены, содержащие x, вправо:

dy/y = (3x^2 - 1) dx

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(1/y) dy = ∫(3x^2 - 1) dx

Интеграл от (1/y) по y даст нам ln|y|, а интеграл от (3x^2 - 1) по x даст нам x^3 - x + C, где C - произвольная постоянная.

Итак, у нас есть:

ln|y| = x^3 - x + C

Теперь избавимся от натурального логарифма, возводя обе стороны в экспоненту:

|y| = e^(x^3 - x + C)

Теперь рассмотрим два случая для постоянной C: C > 0 и C < 0.

Случай 1 (C > 0):

y = e^(x^3 - x + C)

Случай 2 (C < 0):

y = -e^(x^3 - x - |C|)

Оба эти решения представляют собой общее решение дифференциального уравнения. Вы можете добавить произвольную константу (назовем её C1) к каждому из этих решений, чтобы получить ещё больше общих решений.

2. Теперь перейдем к частным решениям:

a) y' = x + 3x^2, y(2) = 5

Сначала решим дифференциальное уравнение:

dy/dx = x + 3x^2

Интегрируя это уравнение, получим:

y = (1/2)x^2 + x^3 + C

Теперь используем начальное условие y(2) = 5, чтобы найти конкретное значение константы C:

5 = (1/2)(2^2) + 2^3 + C 5 = 2 + 8 + C C = -5

Итак, частное решение данного уравнения с начальным условием:

y = (1/2)x^2 + x^3 - 5

b) 5y' - 4y = 0, y(0) = 1

Сначала решим дифференциальное уравнение:

5y' - 4y = 0

y' = (4/5)y

Интегрируя это уравнение, получим:

∫(1/y) dy = (4/5)∫dx

ln|y| = (4/5)x + C

Используя начальное условие y(0) = 1, найдем конкретное значение константы C:

ln|1| = (4/5) * 0 + C 0 = C

Итак, частное решение данного уравнения с начальным условием:

ln|y| = (4/5)x

Теперь возведем обе стороны уравнения в экспоненту:

|y| = e^(4/5)x

Теперь разберемся с абсолютной величиной. Учитывая начальное условие y(0) = 1, мы знаем, что y(0) = |1| = 1. Таким образом, у нас есть:

1 = e^(4/5)x

Чтобы найти y, возведем обе стороны в экспоненту:

y = e^(4/5)x