Question

Задача на 100 баллов 1) На гладкой горизонтальной плоскости лежит стержень массой M и длиной L. В стержень ударяется шарик массой m, движущийся перпендику- лярно стержню. На каком расстоянии l от середины стержня должен про- изойти удар, чтобы угловая скорость вращения стержня была максималь- ной? Удар считать абсолютно упругим. 2) На гладкой горизонтальной поверхности лежит тонкий однородный стержень длиной L. По одному из концов стержня наносят горизонтальный удар в направлении, перпендикулярном стержню. На какое расстояние S сместится центр масс стержня за время его полного оборота?

Answer 1

1)

Запишем законы:
сохранения испульса ЗСИ,
сохранения энергии ЗСЭ
и сохранения момента импульса ЗСМИ :

mvo = mv + MV     – ЗСИ, где vo, v и V – начальная скорость шарика и конечные скорости шарика и центра масс стержня;

mvo²/2 = mv²/2 + MV²/2 + Jω²/2     – ЗСЭ, где ω – угловая скорость вращения стержня с моментом инерции J = ML²/12  ;

mrvo = mrv + Jω     – ЗСМИ , где r – расстояние от середины стержня до точки удара;

Из споставления ЗСМИ и ЗСМ:

MV = Jω/r ;

M²V² = J²ω²/r² ;

MV² = J²ω²/[Mr²] ;

Тогда можно переписать ЗСЭ и ЗСМИ так:

m ( vo² – v² ) = Jω² ( 1 + J/[Mr²] ) ;     ЗСЭ *

m ( vo – v ) = Jω/r ;     ЗСМИ *

Разделим:

vo + v = ωr ( 1 + J/[Mr²] ) ;    || * m

Сложим с ЗСМИ * :

2mvo = mωr ( 1 + J/[Mr²] ) + Jω/r = ω ( mr ( 1 + J/[Mr²] ) + J/r ) =
= ω ( mr + ( 1 + m/M )J/r ) = ω ( mr + (M+m)L²/[12r] ) ;

ω(r) = 2vo/[ r + (1+M/m)L²/(12r) ] ;

Найдём экстремум ω(r) , решив уравнение: dω/dr = 0 ;

dω/dr = 2vo ( (1+M/m)L²/[12r²] – 1 ) / ( r + (1+M/m)L²/[12r] )² = 0 ;

Ясно, что при r² < (1+M/m)L²/12    :     ω(r) – растёт, а затем – падает.

Итак: r(ωmax) = L/2 √[(1+M/m)/3] ) ;

Что верно пока соотношения масс M ≤ 2m, и если M=2m то r(ωmax) = L/2,
т.е. шарик при таком соотношени должен попасть в конец стержня.

Если же M > 2m, то, пскольку r не может быть больше L/2, то
значит, r(ωmax) = L/2 ;


ОТВЕТ:

Если M ≤ 2m, то r(ωmax) = L/2 √[(1+M/m)/3] ) ;

Если M ≥ 2m, то r(ωmax) = L/2 ;





2)

Из полученного импульса p легко найти скорость центра масс:

p = mv;

v = p/m ;

Уравнение движения центра масс S(t) = vt = [p/m] t ;     [1]

Стержень получает момент импульса относительно центар масс – pL/2, откуда легко найти угловую скорость ω :

pL/2 = Jω     – где J = mL²/12 – момент инерции стержня относительно центра масс ;

ω = pL/[2J] = 6p/[mL] ;

Уравнение вращения φ(t) = ωt = [6p/mL] t ;     [2]

Делим [1] на [2] и получаем:

S(t)/φ(t) = [p/m]/[6p/mL] = L/6 ;

S(φ) = Lφ/6 ;

При полном обороте φ = 2π ;

S(2π) = πL/3 ;


ОТВЕТ: S(2π) = [π/3] L .

Answer 2

1) Для решения первой задачи нам нужно найти расстояние, на котором должен произойти удар шарика, чтобы угловая скорость вращения стержня была максимальной.

Когда удар происходит перпендикулярно к стержню, момент импульса системы сохраняется. Момент импульса системы L должен быть сохранен перед ударом и после удара. Пусть v1 - начальная скорость стержня, а v2 - скорость стержня после удара.

Момент импульса перед ударом: L1 = I * v1, где I - момент инерции стержня относительно его центра масс.

Момент импульса после удара: L2 = I * v2 + m * l * r, где r - скорость шарика относительно стержня.

Поскольку удар считается абсолютно упругим, закон сохранения энергии позволяет нам связать начальную и конечную кинетическую энергию:

1/2 * I * v1^2 = 1/2 * I * v2^2 + 1/2 * m * r^2

Момент инерции стержня относительно его центра масс можно выразить как I = (1/12) * M * L^2, и рассмотреть v1 и v2:

1/12 * M * L^2 * v1^2 = 1/12 * M * L^2 * v2^2 + 1/2 * m * r^2

Сокращаем общие члены:

v1^2 = v2^2 + 6 * r^2

Угловая скорость стержня связана с его линейной скоростью и длиной через следующее соотношение: ω = v / l, где ω - угловая скорость, v - линейная скорость, l - расстояние от центра масс стержня до точки удара.

Теперь мы можем записать соотношение для угловых скоростей:

(1) ω1 = v1 / l, и (2) ω2 = v2 / l

Подставляя (1) и (2) в уравнение v1^2 = v2^2 + 6 * r^2:

ω1^2 * l^2 = ω2^2 * l^2 + 6 * r^2

Из условия задачи мы хотим найти такое r, при котором угловая скорость ω2 будет максимальной. Для этого давайте возьмем производную от ω2 по r и приравняем ее к нулю:

d(ω2)/dr = 0

Для упрощения этого уравнения, сначала разделим обе стороны на l^2:

2 * ω2 * ω2' = 12 * r

где ω2' - производная ω2 по r. Теперь мы можем найти значение r:

ω2' = (6 * r) / ω2

Теперь подставим это значение в уравнение d(ω2)/dr = 0:

(6 * r) / ω2 = 0

6 * r = 0

r = 0

Это означает, что угловая скорость ω2 будет максимальной, когда удар шарика происходит точно в центре масс стержня. Таким образом, чтобы достичь максимальной угловой скорости вращения стержня, удар должен произойти на расстоянии l/2 от середины стержня.

2) Во второй задаче нам нужно найти, на какое расстояние сместится центр масс стержня за время его полного оборота.

Когда стержень вращается вокруг своей оси, его центр масс движется по окружности. Радиус этой окружности равен длине стержня L. Полный оборот стержня означает, что центр масс вернется в исходное положение.

Расстояние, на которое сместится центр масс стержня, равно длине окружности, по которой он движется. Длина окружности равна 2πR, где R - радиус окружности.

В данном случае R = L, поэтому расстояние S, на которое сместится центр масс стержня, равно:

S = 2πL

S = 2π * L

Таким образом, центр масс стержня сместится на расстояние 2πL во время его полного оборота.