Question

Компресор подає щохвилини повітря об'ємом 9 л повітря з температурою 15°С і тиском 80 кПа до резервуара об'ємом 80 л. Температура повітря в резервуарі 47°С, а за час роботи компресора створюється тиск 5*10° Па. Перед заповненням резервуар був з'єднаний 3 атмосферою (Ра=10° Па). Який час працював компресор?

Answer 1

Ответ:

Для розв'язання цієї задачі можемо використовувати закон Гейла-Лютгіга, який описує залежність тиску, об'єму і температури газу:

P₁ * V₁ / T₁ = P₂ * V₂ / T₂

де P₁, V₁, і T₁ - початковий тиск, об'єм і температура (в абсолютних одиницях) газу (перед заповненням), P₂, V₂ і T₂ - тиск, об'єм і температура газу після заповнення.

Змінемо одиниці температури з градусів Цельсія на Кельвіна, додаючи 273:

Т₁ = 15 °C + 273 = 288 K

Т₂ = 47 °C + 273 = 320 K

Також переведемо тиск із кПа в Па:

P₁ = 80 кПа = 80,000 Па

P₂ = 5 * 10⁵ Па

Заповнення резервуара відбулося при постійній температурі і без зміни кількості речовини, тобто ми можемо вважати, що маса газу залишилася незмінною. Тому ми можемо спростити рівняння Гейла-Лютгіга:

P₁ * V₁ / T₁ = P₂ * V₂ / T₂

80,000 Па * 9 л / 288 K = 5 * 10⁵ Па * 80 л / 320 K

Після спрощення маємо:

80,000 * 9 / 288 = 5 * 10⁵ * 80 / 320

2,500 = 12,500

Тепер розглянемо обидва боки рівняння і побачимо, що вони не збігаються. Це означає, що газ не може досягти стану, який описується заданими параметрами.

Тобто, задача не має розв'язку з вказаними параметрами.

Answer 2

Треба врахувати закон Бойля-Маріотта і закон Гей-Люссака, які зв'язують тиск, об'єм і температуру газу.

Закон Бойля-Маріотта говорить, що при сталій температурі об'єм газу зворотно пропорційний тиску газу:

P₁V₁ = P₂V₂

де P₁ і P₂ - тиск газу до і після компресора відповідно, V₁ і V₂ - об'єми повітря до і після компресора відповідно.

За умовою, об'єм повітря до компресора V₁ = 9 л, тиск до компресора P₁ = 80 кПа, об'єм повітря після компресора V₂ = 80 л, тиск після компресора P₂ = 5 * 10⁵ Па (оскільки 1 кПа = 10⁵ Па):

(80 кПа)(9 л) = (5 * 10⁵ Па)(80 л)
720 л*кПа=40000 л*Па
720 кПа=40000 Па

Таким чином, тиск після компресора P₂ = 40000 Па.

Закон Гей-Люссака говорить, що при сталому об'ємі тиск газу пропорційний температурі газу:

(P₁/P₂) = (T₁/T₂)

де T₁ і T₂ - температури повітря до і після компресора відповідно.

За умовою, температура повітря до компресора T₁ = 15°C = 15 + 273 = 288 К, температура повітря в резервуарі T₂ = 47°C = 47 + 273 = 320 К:

(80 кПа)/(40000 Па) = (288 К)/(320 К)

КПа/Па = 0,002
288/320=0,9

Таким чином, (80 кПа)/(40000 Па) = 0,002 і (288 К)/(320 К) = 0,9.

Отже, час роботи компресора дорівнює часу, протягом якого тиск зріс і лише зріс, тобто від моменту початку роботи компресора, коли тиск дорівнює 80 кПа, до досягнення тиску 40000 Па.

Оскільки поправимо значення тиску на Па:
1 кПа = 10⁵ Па, то:
40000 Па = 0,4 кПа

Тоді час роботи компресора можна розрахувати за допомогою формули:
час = (об'єм повітря після - об'єм повітря до) / об'єм повітря, що витікає за хвилину

для наших даних:
час = (80 л - 9 л) / 9 л/хвилину

= 71 л / 9 л/хвилину

= 7,89 хвилин

Отже, компресор працював протягом близько 7,89 хвилин.