Question

Два дроти - ніхромовий і сталевий - мають однакові маси. Довжина сталевого дроту в 20 разів більше довжини ніхромового. У скільки разів відрізняються їх опори (питомий опір ніхрому в 10 разів більше питомої опору стали, густина більше в 1,07 рази)?

Answer 1

Для решения этой задачи, нужно обозначить массу проводов как M и длину нихромовой проволоки как L1, а стальной - как L2.

У нас есть следующие данные:
- Длина стального провода (L2) в 20 раз больше длины нихромового (L1), то есть L2 = 20 * L1.
- Массы обоих проводов одинаковые, то есть M(сталь) = M(нихром).

Также известно, что удельное сопротивление нихрома (ρ(нихром)) в 10 раз больше, чем удельное сопротивление стали (ρ(сталь)), и плотность стали (ρ(сталь)) больше в 1,07 раза.

Сопротивление провода (R) связано с его удельным сопротивлением (ρ), длиной (L) и площадью поперечного сечения (A) следующим образом:
R = ρ * (L / A)

Сначала сравним удельное сопротивление нихрома и стали:
ρ(нихром) = 10 * ρ(сталь)

Тепер сравним площади поперечного сечения нихромовой и стальной проволоки. Пусть A1 - площадь нихромовой проволоки, а A2 - площадь стальной проволоки.

Масса провода связана с его объемом (V) и плотностью (ρ) следующим образом:
M = ρ * V

Так как массы проводов одинаковые, то:
ρ(нихром) * V(нихром) = ρ(сталь) * V(сталь)

Площадь поперечного сечения можно выразить как отношение объема к длине:
A = V / L

Из этого следует, что:
A(нихром) / L1 = A(сталь) / L2

Теперь мы можем выразить A1 и A2 через L1 и L2:
A1 = (A(нихром) / L1) * L1 = (A(сталь) / L2) * L1 = A(сталь) * (L1 / L2)

Теперь естественно можем выразить сопротивление R1 нихромовой проволоки и R2 стальной проволоки:
R1 = ρ(нихром) * (L1 / A1) = 10 * ρ(сталь) * (L1 / (A(сталь) * (L1 / L2)))
R2 = ρ(сталь) * (L2 / A(сталь))

Теперь подставим известные отношения и упростим выражения:

R1 = 10 * ρ(сталь) * (L1 / (A(сталь) * (L1 / L2))) = 10 * ρ(сталь) * (L1 / (A(сталь) * (L1 / (20 * L1)))) = 10 * ρ(сталь) * (20)
R2 = ρ(сталь) * (L2 / A(сталь)) = ρ(сталь) * (20 * L1 / A(сталь))

мы можем сравнить R1 и R2:
R1 / R2 = (10 * ρ(сталь) * 20) / (ρ(сталь) * 20 * L1 / A(сталь)) = 10

Итак, сопротивление нихромовой проволоки в 10 раз больше, чем сопротивление стальной проволоки.

Answer 2

Для початку, давайте позначимо масу кожного дроту як m, довжину ніхромового дроту як l, довжину сталевого дроту як 20l, питомий опір ніхрому як ρ, і питомий опір сталевого як 1/10 ρ.

За визначенням, опір R дроту визначається формулою:

R = (ρ * l) / A

де ρ - питомий опір матеріалу, l - довжина дроту, A - поперечний переріз.

Почнемо з розрахунку опорів кожного дроту окремо.

Опір ніхромового дроту:

R1 = (ρ * l) / A1

Опір сталевого дроту:

R2 = (1/10 ρ * 20l) / A2

Так як маси дротів однакові, можемо припустити, що іх поперечні перерізи A1 і A2 також однакові. Отже, ми можемо спростити формулу для опору сталевого дроту до:

R2 = (1/10 ρ * 20l) / A1 = (2 ρ * l) / A1

Тепер ми можемо порівняти опори:

R1 / R2 = ((ρ * l) / A1) / ((2 ρ * l) / A1)
= (ρ * l * A1) / (2 ρ * l * A1)
= 1/2

Отже, опір сталевого дроту в 2 рази менший, ніж опір ніхромового дроту.