Question

Амплитуда гармонического колебания равна 5 см, период 4 с и начальная фаза φ0=45°: а) написать уравнение этого колебания; б) найти смещение, скорость и ускорение колеблющейся точки в момент вре¬мени t=1,5 с.

Answer 1

Общее уравнение колебаний:
x (t) = X*sin (ω*t+φo)
ω = 2π/T = 2π /4 = π /2  c⁻¹

а)
Имеем:
x(t) = 0,05*sin (π*t/2+π/4)

б)
x(1,5) = 0,05*sin (π*1,5/2+π/4) =  0,05*sin (3π/4+π/4) = 0,05*sin (π) =0 м

Скорость - первая производная от координаты:
v(t) = ω*X*cos (ωt + φo)
v(1,5) = (π/2)*0,05*cos (π) = - 0,025π м/с

Ускорение - первая производная от скорости:
a(t) = - X*ω²*sin (ωt + φo)
a(1,5) - - 0,005*(π/2)²*sin (π) = 0

Answer 2

а) Уравнение гармонического колебания можно записать следующим образом:

x(t) = A * cos(ωt + φ0),

где: x(t) - смещение колеблющейся точки в момент времени t, A - амплитуда колебания (в данном случае, 5 см), ω - угловая частота (в радианах в секунду), t - время, φ0 - начальная фаза (в данном случае, 45°, или в радианах π/4).

Чтобы найти угловую частоту, мы можем использовать формулу:

ω = 2π / T,

где T - период колебания (в данном случае, 4 секунды).

ω = 2π / 4 = π/2 рад/с.

Теперь у нас есть все данные, и мы можем записать уравнение колебания:

x(t) = 5 * cos((π/2)t + π/4).

б) Теперь давайте найдем смещение, скорость и ускорение колеблющейся точки в момент времени t = 1.5 секунды.

1. Смещение: Для нахождения смещения в момент времени t = 1.5 секунды, подставим t = 1.5 в уравнение:

x(1.5) = 5 * cos((π/2)(1.5) + π/4) = 5 * cos(π/4 + π/4) = 5 * cos(π/2) = 0 см.

Смещение равно 0 см.

2. Скорость: Скорость можно найти, взяв производную смещения по времени:

v(t) = dx/dt = -5 * (π/2) * sin((π/2)t + π/4).

Теперь найдем скорость в момент времени t = 1.5 секунды:

v(1.5) = -5 * (π/2) * sin((π/2)(1.5) + π/4) = -5 * (π/2) * sin(π/4 + π/4) = -5 * (π/2) * sin(π/2) = -5 * (π/2) * 1 = -5π/2 см/с.

Скорость равна -5π/2 см/с.

3. Ускорение: Ускорение можно найти, взяв производную скорости по времени:

a(t) = dv/dt = -5 * (π/2)^2 * cos((π/2)t + π/4).

Теперь найдем ускорение в момент времени t = 1.5 секунды:

a(1.5) = -5 * (π/2)^2 * cos((π/2)(1.5) + π/4) = -5 * (π/2)^2 * cos(π/4 + π/4) = -5 * (π/2)^2 * cos(π/2) = -5 * (π/2)^2 * 0 = 0 см/с^2.

Ускорение равно 0 см/с^2.

Итак, в момент времени t = 1.5 секунды смещение колеблющейся точки равно 0 см, скорость равна -5π/2 см/с, и ускорение равно 0 см/с^2.