Question

В идеальном закрытом электрическом контуре совершаются электромагнитные колебания, начальная фаза колебаний = 0. Полагая, что колебания заряда конденсатора происходит по закону косинуса, найдите отношение Wэ1 / Wм1 - энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки в момент времени t1=T/12, где T - период колебаний. Ответ округлите до целого.​

Answer 1

Для идеального закрытого электрического контура, энергия электрического поля конденсатора (Wэ) и энергия магнитного поля катушки (Wм) связаны следующим образом:

Wэ = 1/2 * C * (Uэ)^2

Wм = 1/2 * L * (Iм)^2

где C - ёмкость конденсатора, Uэ - напряжение на конденсаторе, L - индуктивность катушки, Iм - ток через катушку.

Поскольку начальная фаза колебаний равна 0, то напряжение на конденсаторе будет следовать закону косинуса:

Uэ = Uмакс * cos(ωt), где Uмакс - максимальное значение напряжения на конденсаторе, ω - угловая частота.

Амплитуда тока через катушку будет связана с амплитудой напряжения следующим образом:

Iм = Iмакс * sin(ωt), где Iмакс - максимальное значение тока через катушку.

В данном случае интересующий нас момент времени t1 = T/12, где T - период колебаний.

Находим отношение этих энергий:

Wэ1 / Wм1 = (1/2 * C * (Uэ1)^2) / (1/2 * L * (Iм1)^2)

Подставляем значения амплитуд напряжения и тока:

Wэ1 / Wм1 = (1/2 * C * (Uмакс * cos(ωt1))^2) / (1/2 * L * (Iмакс * sin(ωt1))^2)

Так как ω = 2π / T, где T - период колебаний, и t1 = T/12, можно записать:

Wэ1 / Wм1 = (1/2 * C * (Uмакс * cos((2π/T) * T/12))^2) / (1/2 * L * (Iмакс * sin((2π/T) * T/12))^2)

Упрощаем это выражение:

Wэ1 / Wм1 = (C / L) * (Uмакс^2 / Iмакс^2) * (cos((π/6))^2 / sin((π/6))^2)

Так как cos((π/6))^2 = 3/4 и sin((π/6))^2 = 1/4, можно записать:

Wэ1 / Wм1 = 3 * (C / L) * (Uмакс^2 / Iмакс^2)

Ответ округляем до целого числа в соответствии с указаниями задачи.

Answer 2

Для идеального закрытого электрического контура, включающего конденсатор и катушку, энергия электрического поля конденсатора и энергия магнитного поля катушки связаны следующим образом:

Wэ = (1/2) * C * U^2 Wм = (1/2) * L * I^2

где:

• Wэ - энергия электрического поля конденсатора
• Wм - энергия магнитного поля катушки
• C - ёмкость конденсатора
• U - напряжение на конденсаторе
• L - индуктивность катушки
• I - ток в катушке

Зная, что колебания заряда конденсатора происходят по закону косинуса, мы можем записать напряжение на конденсаторе в момент времени t следующим образом:

U(t) = U0 * cos(2πt/T)

где:

• U(t) - напряжение на конденсаторе в момент времени t
• U0 - максимальное напряжение на конденсаторе
• T - период колебаний

Также, ток в катушке будет связан с производной напряжения на конденсаторе по времени:

I(t) = (1/L) * ∫(0, t) U(t) dt

Теперь, давайте найдем значения U и I в момент времени t1 = T/12:

U(t1) = U0 * cos(2π(T/12)/T) = U0 * cos(π/6) = (sqrt(3)/2) * U0

I(t1) = (1/L) * ∫(0, T/12) U(t) dt = (1/L) * ∫(0, T/12) U0 * cos(2πt/T) dt I(t1) = (1/L) * (U0 * T / (2π)) * sin(2π(T/12)/T) I(t1) = (U0 / (2πL)) * sin(π/6)

Теперь мы можем вычислить отношение Wэ1 / Wм1 в момент времени t1:

Wэ1 = (1/2) * C * U(t1)^2 = (1/2) * C * ((sqrt(3)/2) * U0)^2 = (3/4) * C * U0^2 Wм1 = (1/2) * L * I(t1)^2 = (1/2) * L * ((U0 / (2πL)) * sin(π/6))^2 = (1/8π^2) * L * U0^2 * sin^2(π/6)

Отношение Wэ1 / Wм1:

Wэ1 / Wм1 = ((3/4) * C * U0^2) / ((1/8π^2) * L * U0^2 * sin^2(π/6))

Упростим это выражение:

Wэ1 / Wм1 = (6π^2 * C) / (L * sin^2(π/6))

Теперь подставим численные значения. Обычно ёмкость конденсатора и индуктивность катушки в таких задачах не задаются, поэтому выражение останется в общем виде:

Wэ1 / Wм1 = (6π^2 * C) / (L * sin^2(π/6))

Ответ округлите до целого числа, и вам понадобится знать значения ёмкости конденсатора и индуктивности катушки, чтобы вычислить это отношение.