Question

1. Когда конденсатор присоединили к батарее аккумуляторов, он зарядился и его энергия стала равна 1 Дж. Равна ли этой энергии работа, совершенная батареей? Докажите правильность своего ответа вычислением. 2. По очень большой пластине течет однородный ток с постоянной линейной плотностью j ("на нас"). Докажите, что силовые линии магнитного поля, создаваемого этим током, параллельны пластине. Укажите направления вектора B над и под пластиной

Answer 1

1. Нет. Энергия конд-ра в 2 раза меньше той энергии, которая отдана батареей. Это следует из того, что его энергия
W= $\frac{CU^2}{2} = \frac{CU*U}{2} = \frac{qU}{2}$,
тогда как работа, совершённая батареей есть W0=qU.
2. Силовые линии могут быть только перпендикулярны линиям тока.
Второе: в силу однородности распределения тока линии поля могут быть
только параллельны плоскости. И наконец, из соотношения для циркуляции магнитного поля, индукция этого поля везде вне пластины имеет одно и то же значение.

Answer 2

1. Для рассмотрения первого вопроса давайте воспользуемся формулой для энергии, хранимой в конденсаторе:

$E = \frac{1}{2} C V^2,$

где:

• $E$ - энергия в конденсаторе,
• $C$ - ёмкость конденсатора,
• $V$ - напряжение на конденсаторе.

После подключения конденсатора к батарее аккумуляторов, он зарядился, и его напряжение стало $V$. Мы знаем, что его энергия равна 1 Дж, то есть $E = 1\,\text{Дж}$. Поэтому мы можем переписать уравнение следующим образом:

$1\,\text{Дж} = \frac{1}{2} C V^2.$

Теперь мы хотим найти работу, совершенную батареей. Работа, совершаемая батареей при зарядке конденсатора, равна изменению энергии конденсатора:

$W = \Delta E = E_{\text{конечное}} - E_{\text{начальное}}.$

Изначально конденсатор не имел заряда, поэтому $E_{\text{начальное}} = 0$, а $E_{\text{конечное}} = 1\,\text{Дж}$, как мы выяснили. Таким образом,

$W = 1\,\text{Дж} - 0 = 1\,\text{Дж}.$

Итак, работа, совершенная батареей при зарядке конденсатора, равна 1 Дж.

2. Чтобы доказать, что силовые линии магнитного поля, создаваемого бесконечной пластиной с постоянной линейной плотностью тока $j$, параллельны пластине, давайте воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа и рассмотрим бесконечно малый элемент пластины.

Закон Био-Савара-Лапласа гласит, что магнитное поле $d\mathbf{B}$, создаваемое элементом тока $d\mathbf{l}$, можно выразить следующим образом:

$d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^3},$

где:

• $d\mathbf{B}$ - магнитное поле, создаваемое элементом тока,
• $\mu_0$ - магнитная постоянная,
• $I$ - сила тока элемента,
• $d\mathbf{l}$ - элемент длины тока,
• $\mathbf{r}$ - радиус-вектор от элемента длины до точки, в которой измеряется магнитное поле,
• $r$ - расстояние от элемента длины до точки, в которой измеряется магнитное поле.

Для бесконечно большой пластины с однородным током $I$, сила тока распределена равномерно. Рассмотрим точку выше пластины ($d\mathbf{B}_1$) и точку ниже пластины ($d\mathbf{B}_2$).

• Для точки выше пластины, $\mathbf{r}_1$ будет направлен вниз от элемента длины, и векторное произведение $d\mathbf{l} \times \mathbf{r}_1$ будет направлено вдоль пластины.
• Для точки ниже пластины, $\mathbf{r}_2$ будет направлен вверх от элемента длины, и векторное произведение $d\mathbf{l} \times \mathbf{r}_2$ также будет направлено вдоль пластины.

Следовательно, силовые линии магнитного поля в обоих точках будут параллельны пластине. Для точки выше пластины, магнитное поле направлено вниз, а для точки ниже пластины - вверх.