Question

Буровая установка приводится в движение двумя большими, зацепленными друг за друга зубчатыми колёсами на неподвижных осях, имеющими форму тонких обручей радиусов R1 и R2. Массы колёс - m1 и m2 соответственно, причём массой, сосредоточенной в спицах и осях колёс можно пренебречь. Чтобы раскрутить колёса (без приведения в движение других частей установки) пришлось совершить работу A. Найдите угловую скорость ω вращения первого колеса. Дайте ответ для R1 = 2.5 м, R2 = 5.0 м, m1 = 320.0 кг, m2 = 900.0 кг, A = 30.0 кДж в 1/с с точностью до десятых

Answer 1

Ответ:

2,8 рад/с

Объяснение:

Дано:

R₁ = 2,5 м

R₂ = 5,0 м

m₁ = 320 кг

m₂ = 900 кг

A = 30 кДж = 30 000 Дж

___________

ω₁ - ?

1)

Поскольку колеса находятся в зацеплении, то линейная скорость точки А равна

V = V₁ = V₂

V₁ = ω₁·R₁             (1)

V₂ = ω₂·R₂           (2)

Приравняем (2) и (1)

ω₂·R₂ =  ω₁·R₁

ω₂ =  (R₁/R₂)·ω₁ = (2,5/5,0)·ω₁ = 0,5·ω₁

2)

Считаем зубчатые колеса тонкими обручами найдем их моменты инерции:

J₁ = m₁·R₁² = 320·2,5² = 2 000 кг·м²

J₂ = m₂·R₂² = 900·5² = 22 500 кг·м²

3)

Кинетические энергии колес:

T₁ = J₁·ω₁²/2 = 2000·ω₁² / 2 =  1000·ω₁²

T₂ = J₂·ω₂²/2 = 22 500·0,5²ω₁²/2  ≈ 2810·ω₁²

Суммарная кинетическая энергия:

T = T₁+T₂ = 1000·ω₁² +  2810·ω₁² = 3 810·ω₁²  Дж

4)

По закону сохранения энергии:

T = A

3 810·ω₁² = 30 000

ω₁ = √ (30 000 / 3810) ≈ 2,8 рад/с

Answer 2

Для нахождения угловой скорости вращения первого колеса (ω) мы можем использовать закон сохранения механической энергии. Работа (A), которую нужно совершить, чтобы раскрутить колеса, будет равна изменению кинетической энергии вращения системы колес. Мы можем записать это как:

A = ΔKE

Здесь ΔKE - изменение кинетической энергии вращения системы колес.

Кинетическая энергия вращения колеса можно выразить как:

KE = (1/2) * I * ω^2

где I - момент инерции колеса, ω - угловая скорость вращения.

Момент инерции колеса можно выразить как:

I = (1/2) * m * R^2

где m - масса колеса, R - радиус колеса.

Теперь мы можем записать кинетическую энергию для обоих колес:

KE1 = (1/2) * m1 * R1^2 * ω^2 KE2 = (1/2) * m2 * R2^2 * ω^2

Изменение кинетической энергии (ΔKE) будет равно разнице между кинетической энергией колес после и до их вращения:

ΔKE = KE2 - KE1

Подставив выражения для KE1 и KE2:

ΔKE = (1/2) * m2 * R2^2 * ω^2 - (1/2) * m1 * R1^2 * ω^2

Теперь мы можем подставить значение работы (A) и решить уравнение для ω:

A = ΔKE 30 кДж = ((1/2) * 900.0 кг * (5.0 м)^2 * ω^2) - ((1/2) * 320.0 кг * (2.5 м)^2 * ω^2)

Пересчитаем это уравнение:

30 кДж = (1/2) * 900.0 кг * 25.0 м^2 * ω^2 - (1/2) * 320.0 кг * 6.25 м^2 * ω^2

Упростим:

30 кДж = 11250 кг м^2 * ω^2 - 1000 кг м^2 * ω^2

Теперь объединим коэффициенты и решим уравнение для ω:

30 кДж = 10250 кг м^2 * ω^2

ω^2 = (30 кДж) / (10250 кг м^2) = 0.00292683 рад^2/с^2

ω = √(0.00292683 рад^2/с^2) ≈ 0.054 рад/с

Теперь мы знаем угловую скорость вращения первого колеса:

ω ≈ 0.054 рад/с (с точностью до десятых).