Question

НУЖНА ТОЛЬКО ФОРМУЛА К ЗАДАЧЕ! Буровая установка приводится в движение двумя большими, зацепленными друг за друга зубчатыми колёсами на неподвижных осях, имеющими форму тонких обручей радиусов R1 и R2. Массы колёс - m1 и m2 соответственно, причём массой, сосредоточенной в спицах и осях колёс можно пренебречь. Чтобы раскрутить колёса (без приведения в движение других частей установки) пришлось совершить работу A. Найдите угловую скорость ω вращения первого колеса.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дано:

R₁

R₂

m₁

m₂

A

___________

ω₁ - ?

1)

Поскольку колеса находятся в зацеплении, то линейная скорость точки А равна

V = V₁ = V₂

V₁ = ω₁·R₁             (1)

V₂ = ω₂·R₂           (2)

Приравняем (2) и (1)

ω₂·R₂ =  ω₁·R₁

ω₂ =  ω₁·R₁ / R₂

2)

Считаем зубчатые колеса тонкими обручами найдем их моменты инерции:

J₁ = m₁·R₁²

J₂ = m₂·R₂²

3)

Кинетические энергии колес:

T₁ = J₁·ω₁²/2

T₂ = J₂·ω₂²/2

Суммарная кинетическая энергия:

T = T₁+T₂ = J₁·ω₁²/2 + J₂·ω₂²/2

4)

По закону сохранения энергии:

T = A

J₁·ω₁²/2 + J₂·ω₂²/2 = A

J₁·ω₁² + J₂·ω₁²·R₁² / R₂² = 2·A

ω₁ = √ (2·A / ( J₁ + J₂·(R₁/R₂)²) )

где

J₁ = m₁·R₁²;

J₂ = m₂·R₂².

Answer 2

Для решения данной задачи, необходимо учесть сохранение механической энергии системы.

При раскручивании колес, работа, которая совершается над системой, превращается в кинетическую энергию вращения колес. Можем записать это следующим образом:

A = ΔK,

где A - работа, совершенная над системой, ΔK - изменение кинетической энергии системы.

Кинетическая энергия вращения колеса может быть выражена следующей формулой:

K = (1/2) * I * ω^2,

где K - кинетическая энергия вращения, I - момент инерции колеса относительно его оси вращения, ω - угловая скорость вращения колеса.

Момент инерции колеса определяется его массой и расположением массы относительно оси вращения. В данной задаче можно считать, что момент инерции колеса можно выразить следующим образом:

I = m * R^2,

где m - масса колеса, R - радиус колеса.

Поскольку в данной задаче имеется два колеса, каждое со своим моментом инерции и угловой скоростью, необходимо учесть их вклады в общую кинетическую энергию системы:

K = (1/2) * (m1 * R1^2 * ω1^2 + m2 * R2^2 * ω2^2).

Поскольку колеса зацеплены друг за друга, их угловые скорости связаны следующим образом:

ω2 = (R1 / R2) * ω1.

Теперь мы можем выразить работу A через изменение кинетической энергии и выразить ω1:

A = ΔK = K - 0 = (1/2) * (m1 * R1^2 * ω1^2 + m2 * R2^2 * ω2^2) - 0.

Подставляя ω2 вместо ω1, получим:

A = (1/2) * (m1 * R1^2 * ω1^2 + m2 * R2^2 * ((R1 / R2) * ω1)^2) - 0.

A = (1/2) * (m1 * R1^2 * ω1^2 + m2 * R2^2 * (R1^2 / R2^2) * ω1^2).

Раскрывая скобки и сокращая, получим:

A = (1/2) * (m1 * R1^2 + m2 * R1^2) * ω1^2.

Из этого уравнения можно найти угловую скорость ω1:

ω1 = √(2A / ((m1 * R1^2 + m2 * R1^2)).

Это и есть формула для нахождения угловой скорости ω1, которую нужно использовать для решения данной задачи.