Question

Буровая установка приводится в движение двумя большими, зацепленными друг за друга зубчатыми колёсами на неподвижных осях, имеющими форму тонких обручей радиусов R1 и R2.Массы колёс m1 и m2 ​ соответственно, причём массой, сосредоточенной в спицах и осях колёс можно пренебречь. Чтобы раскрутить колёса (без приведения в движение других частей установки) пришлось совершить работу A. Найдите угловую скорость ω вращения первого колеса. R1= 0.5м R2=70м m1=240кг m2=900кг A=20кдж в 1/с

Answer 1

Ответ:

12 рад/с

Объяснение:

Дано:

R₁ = 0,5 м

R₂ = 7,0 м

m₁ = 240 кг

m₂ = 900 кг

A = 20 кДж = 20 000 Дж

___________

ω₁ - ?

1)

Поскольку колеса находятся в зацеплении, то линейная скорость точки А равна

V = V₁ = V₂

V₁ = ω₁·R₁             (1)

V₂ = ω₂·R₂           (2)

Приравняем (2) и (1)

ω₂·R₂ =  ω₁·R₁

ω₂ =  (R₁/R₂)·ω₁ = (0,5/7)·ω₁ = ω₁/14

2)

Считаем зубчатые колеса тонкими обручами найдем их моменты инерции:

J₁ = m₁·R₁² = 240·0,5² = 60 кг·м²

J₂ = m₂·R₂² = 900·7² = 44 100 кг·м²

3)

Кинетические энергии колес:

T₁ = J₁·ω₁²/2 = 60·ω₁² / 2 = 30·ω₁²

T₂ = J₂·ω₂²/2 = 44 100·ω₁²/(2·14²)  ≈  110·ω₁²

Суммарная кинетическая энергия:

T = T₁+T₂ = 30·ω₁² +  110·ω₁² ≈ 140·ω₁²  Дж

4)

По закону сохранения энергии:

T = A

140·ω₁² = 20 000

ω₁ = √ (20 000 / 140) ≈ 12 рад/с

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать законы сохранения энергии и момента импульса.

1. Найдем работу, совершенную над системой:

   A = ΔEк + ΔEп,

   где ΔEк - изменение кинетической энергии, ΔEп - изменение потенциальной энергии.

   ΔEк = (1/2) I1 ω1^2 + (1/2) I2 ω2^2,

   где I1 и I2 - моменты инерции первого и второго колес соответственно, ω1 и ω2 - угловые скорости вращения колес.

   ΔEп = m1 g h1 + m2 g h2,

   где g - ускорение свободного падения, h1 и h2 - высоты центров масс колес над некоторым нулевым уровнем.

   Поскольку центры масс колес находятся на неподвижных осях, и массой, сосредоточенной в спицах и осях колес, можно пренебречь, то потенциальная энергия колес не меняется, и ΔEп = 0.

   Таким образом, A = ΔEк = (1/2) I1 ω1^2 + (1/2) I2 ω2^2.

2. Выразим моменты инерции колес через их массы и радиусы:

   I1 = m1 R1^2, I2 = m2 R2^2.

   Подставим эти значения в уравнение для работы:

   A = (1/2) m1 R1^2 ω1^2 + (1/2) m2 R2^2 ω2^2.

3. Так как колеса связаны между собой зубчатыми колесами и вращаются с одинаковой угловой скоростью, то ω1 = ω2 = ω.

   Подставим это в уравнение для работы:

   A = (1/2) m1 R1^2 ω^2 + (1/2) m2 R2^2 ω^2.

   A = (1/2) (m1 R1^2 + m2 R2^2) ω^2.

4. Решим уравнение относительно ω:

   20 кДж = (1/2) ((240 кг) (0.5 м)^2 + (900 кг) (70 м)^2) ω^2.

   20 кДж = (1/2) (60 кг·м^2 + 441000 кг·м^2) ω^2.

   20 кДж = (1/2) (441060 кг·м^2) ω^2.

   40 кДж = 441060 кг·м^2 ω^2.

   ω^2 = 40 кДж / 441060 кг·м^2.

   ω^2 ≈ 9.07 × 10^(-5) 1/с^2.

   ω ≈ √(9.07 × 10^(-5)) 1/с.

   ω ≈ 0.0095 1/с.

Таким образом, угловая скорость вращения первого колеса примерно равна 0.0095 рад/с.