Question

Колебания груза массой 100г на пружине задано уравнением x = 0.1cos20πt. Найдите максимальную потенциальную и кинетическую энергию

Answer 1

Дано:

m = 100 г = 0,1 кг

x = 0,1*cos20pi*t

Найти:

E_p, E_k - ?

Решение:

E_p = (k*A²)/2

E_k = (m*(v_max))²/2

x = 0,1*cos20pi*t

x_max = A = 0,1 м

x' = v = -0,1*20pi*sin20pi*t = 0,1*20pi*cos(20pi*t + pi/2)

v_max = 0,1*20pi = 2pi м/с

w = 20pi = √(k/m) => w² = k/m => k = w²*m

E_p = (k*A²)/2 = (w²*m*A²)/2 = ((20*pi)²*0,1*0,1²)2 = (400*3,14²*0,1³)/2 = 3,94384/2 = 1,97192 Дж = 1,98 Дж

E_k = (m*(v_max))²/2 = (0,1*(2*pi)²)/2 = (0,1*4*3,14²)/2 = 3,94384/2 = 1,97192 Дж = 1,98 Дж

Answer 2

Для нахождения максимальной потенциальной и кинетической энергии груза, колеблющегося на пружине, можно воспользоваться следующими формулами:

1. Потенциальная энергия пружины: $PE = \frac{1}{2}kx^2$

2. Кинетическая энергия груза: $KE = \frac{1}{2}mv^2$

где:

• $PE$ - потенциальная энергия пружины,
• $KE$ - кинетическая энергия груза,
• $k$ - коэффициент жёсткости пружины,
• $x$ - амплитуда колебаний груза,
• $m$ - масса груза,
• $v$ - скорость груза.

В данном случае у нас есть следующие данные:

• Масса груза ($m$) = 100 г (0.1 кг)
• Амплитуда ($x$) = 0.1 м
• Уравнение колебаний: $x = 0.1\cos(20\pi t)$

Сначала найдем максимальную амплитуду ($x_{\text{макс}}$), которая равна 0.1 м.

Затем, чтобы найти максимальную потенциальную энергию ($PE_{\text{макс}}$), подставим $x_{\text{макс}}$ в формулу для потенциальной энергии:

$PE_{\text{макс}} = \frac{1}{2}kx_{\text{макс}}^2$

Для расчета максимальной кинетической энергии ($KE_{\text{макс}}$), нужно найти максимальную скорость ($v_{\text{макс}}$), которая соответствует максимальной амплитуде. Для этого можно воспользоваться следующими связями:

1. $x_{\text{макс}} = A$, где $A$ - амплитуда колебаний.
2. $v_{\text{макс}} = \omega A$, где $\omega$ - угловая частота (в данном случае, $2\pi \cdot 20$ рад/с).

Теперь можно вычислить $KE_{\text{макс}}$:

$KE_{\text{макс}} = \frac{1}{2}m v_{\text{макс}}^2$

Подставляем значения и вычисляем:

$$PE_{\text{макс}} = \frac{1}{2}kx_{\text{макс}}^2 = \frac{1}{2}k(0.1)^2 = \frac{1}{200}k$$

$$v_{\text{макс}} = \omega A = 2\pi \cdot 20 \cdot 0.1 = 4\pi \, \text{м/с}$$

$$KE_{\text{макс}} = \frac{1}{2}mv_{\text{макс}}^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \cdot (4\pi)^2 = 8\pi^2 \, \text{Дж}$$

Таким образом, максимальная потенциальная энергия равна $\frac{1}{200}k$, а максимальная кинетическая энергия равна $8\pi^2$ Дж. Но чтобы найти значение $k$, нам нужны дополнительные данные о пружине, такие как её жёсткость.