Question

Період гармонічних коливань тіла дорівнює 4 с. Вкажіть, через який найменший час (в СІ) після проходження положення рівноваги кінетична енергія тіла зменшиться вдвічі. Период гармонических колебаний тела равна 4 с. Укажите, через какое наименьшее время (в СИ) после прохождения положения равновесия кинетическая энергия тела уменьшится вдвое.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

x=x0*sin(2*pi*t/T)

v=v0*cos(2*pi*t/T)

E=mv^2/2 =E0*cos²(2*pi*t/T)

E=E0*cos²(2*pi*t/T)=E0/2

cos²(2*pi*t/T)=1/2

2*pi*t/T=pi/4

t=T/8=4/8=0,5 сек - это ответ

Answer 2

Для гармонічних коливань кінетична енергія тіла визначається формулою:

$K = \frac{1}{2} m v^2$,

де $m$ - маса тіла, $v$ - швидкість тіла.

Швидкість тіла відносно амплітуди гармонічних коливань визначається формулою:

$v(t) = A\omega\sin(\omega t)$,

де $A$ - амплітуда коливань, $\omega$ - кутова частота ($\omega = \frac{2\pi}{T}$, де $T$ - період гармонічних коливань), $t$ - час.

Отже, кінетична енергія від часу $t$ виглядає так:

$K(t) = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \sin^2(\omega t)$.

Для того щоб кінетична енергія зменшилася вдвічі, потрібно, щоб $\frac{K(t)}{K(0)} = \frac{1}{2}$, де $K(0)$ - кінетична енергія в момент часу $t = 0$, тобто в момент проходження положення рівноваги.

Отже, ми маємо:

$\frac{1}{2} = \frac{K(t)}{K(0)} = \frac{\frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \sin^2(\omega t)}{\frac{1}{2} m A^2 \omega^2} = \sin^2(\omega t)$.

Розв'язавши це рівняння відносно $\omega t$, ми знайдемо час $t$ в який кінетична енергія зменшиться вдвічі:

$\sin^2(\omega t) = \frac{1}{2} \Rightarrow \omega t = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Оскільки ми шукаємо найменший час $t$ після проходження положення рівноваги, то візьмемо $k = 0$:

$\omega t = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t = \frac{\pi}{4\omega} = \frac{\pi}{4} \times \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{8}$.

Замість $T$ у цій формулі можна підставити дане значення періоду гармонічних коливань ($T = 4 \, \text{s}$):

$t = \frac{T}{8} = \frac{4 \, \text{s}}{8} = 0.5 \, \text{s}$.