Question

№30. Сила тяжести, действующая на искусственный спутник Земли, равна 4 кН. Определите кинетическую энергию спутника, если радиус его круговой орбиты 10000 км. Ответ запишите в гигаджоулях (ГДж).

Answer 1

Дано:

Fтяж = 4 кН = 4*10³ Н

R' = 10000 км = 10000*10³ м = 10⁷ м

Ек - ?

Решение:

Ек = mυ²/2

Используем закон всемирного тяготения:

Fтяг = G*m*M/(R + h)²,

где М - масса Земли, R - её радиус, h - высота над поверхностью Земли, m - масса спутника

Приравняем эту формулу к формуле силы тяжести (потому что сила тяжести - это частный случай закона всемирного тяготения)

Fтяг = Fтяж

G*m*M/(R + h)² = mg | : m

GM/(R + h)² = g

Тогда мы можем выразить массу m из формулы силы тяжести:

Fтяж = mg

m = Fтяж/g = Fтяж/(GM/(R + h)²) = Fтяж*(R + h)²/(GM)

Пока ничего не будем делать с высотой h и остальными величинами (хотя переживать по поводу массы Земли и её радиуса не приходится - значения табличные). Мы знаем, что спутник движется по окружности - его движение является криволинейным. А всякое криволинейное движение происходит с ускорением. Тогда по Второму закону Ньютона:

Fтяг = ma = mυ²/L,

где L = R + h => Fтяг = mυ²/(R + h)

Снова приравняем к формуле силы тяжести:

mυ²/(R + h) = mg | : m

υ²/(R + h) = g

Теперь подставим вместо g его выражение из закона всемирного тяготения:

υ²/(R + h) = GM/(R + h)² | * (R + h)

υ² = GM/(R + h)

Отлично. Теперь можно подставлять выражения m и υ² в формулу кинетической энергии:

Ек = mυ²/2 = (Fтяж*(R + h)²/(GM) * GM/(R + h)) / 2 = Fтяж*(R + h)/2 - остаётся разобраться с h

В задаче указывают радиус орбиты. И ясное дело, что этот радиус будет равен сумме радиуса Земли и высоты над её поверхностью:

R' = R + h - выражаем h:

h = R' - R - подставляем в конечную формулу:

Ек = Fтяж*(R + (R' - R))/2 = Fтяж*R'/2 = 4*10³*10⁷/2 = (4/2)*10¹⁰ = 2*10¹⁰ = 20*10⁹ Дж = 20 ГДж

Ответ: 20.

Answer 2

Для определения кинетической энергии искусственного спутника Земли на круговой орбите можно воспользоваться следующей формулой:

Кинетическая энергия (КЭ) = (1/2) * масса спутника * скорость спутника^2

Для расчета скорости спутника на круговой орбите, мы можем использовать формулу для центростремительного ускорения:

Центростремительное ускорение (а) = (Сила тяжести) / (масса спутника)

В данном случае, сила тяжести равна 4 кН (килоньютонам), что составляет 4000 Н (ньютонов), так как 1 кН = 1000 Н.

С учетом центростремительного ускорения и радиуса орбиты, мы можем найти скорость спутника:

а = v^2 / r

где: а - центростремительное ускорение, v - скорость спутника, r - радиус орбиты.

Решая уравнение для v:

v = √(а * r)

Теперь, мы можем найти скорость спутника:

v = √((4000 Н) / (10000 км + 6371 км))

v = √((4000 Н) / (16371 км))

v ≈ √(0.244 Н/км)

v ≈ 0.494 км/с

Теперь, мы можем использовать скорость спутника для расчета его кинетической энергии:

КЭ = (1/2) * масса спутника * (0.494 км/с)^2

Для получения ответа в гигаджоулях (ГДж), нужно учесть, что 1 джоуль (Дж) = 1/1,000,000,000 гигаджоулей (ГДж).

Давайте предположим, что масса спутника равна, например, 1000 кг (1 тонна):

КЭ = (1/2) * 1000 кг * (0.494 км/с)^2

КЭ ≈ (1/2) * 1000 кг * (0.244 км^2/с^2)

КЭ ≈ 122 ГДж

Таким образом, кинетическая энергия спутника на данной орбите составляет приблизительно 122 гигаджоуля.