Question

В постоянном магнитном поле заряженная частица движется по окружности. Когда индукцию магнитного поля стали медленно увеличивать, обнаружилось, что скорость частицы увеличивается так, что её кинетическая энергия прямо пропорциональна индукции поля. Найдите частоту вращения частицы с энергией Е=1 эВ , если частота вращения частицы с энергией Е₀=0.4эВ равна ν₀=60 м/с.

Answer 1

Ответ:

R=R_0 ко­рень из { дробь, чис­ли­тель — B_0, зна­ме­на­тель — B }

Объяснение:

В маг­нит­ном поле на дви­жу­щу­ю­ся за­ря­жен­ную ча­сти­цу дей­ству­ет сила Ло­рен­ца F_Л=qB\upsilon синус \alpha, где \alpha — угол между век­то­ром маг­нит­ной ин­дук­ции и ско­ро­стью ча­сти­цы. Из дви­же­ния по окруж­но­сти, сле­ду­ет, что маг­нит­ное поле на­прав­ле­но пер­пен­ди­ку­ляр­но дви­же­нию ча­сти­цы, синус \alpha=1, при этом ча­сти­ца дви­жет­ся с цен­тро­стре­ми­тель­ным уско­ре­ни­ем. В пер­вом слу­чае

qB_0\upsilon _0=m дробь, чис­ли­тель — \upsilon _0 в сте­пе­ни 2 , зна­ме­на­тель — R_0 рав­но­силь­но \upsilon _0 = дробь, чис­ли­тель — qB_0R_0, зна­ме­на­тель — m рав­но­силь­но дробь, чис­ли­тель — 2 Пи R_0, зна­ме­на­тель — T_0 = дробь, чис­ли­тель — qB_0R_0, зна­ме­на­тель — m .

Ча­сто­та f_0 свя­за­на с пе­ри­о­дом об­ра­ще­ния T_0 через со­от­но­ше­ние f_0= дробь, чис­ли­тель — 1, зна­ме­на­тель — T_0 . Тогда f_0= дробь, чис­ли­тель — qB_0, зна­ме­на­тель — 2 Пи m для пер­во­го слу­чая и f= дробь, чис­ли­тель — qB, зна­ме­на­тель — 2 Пи m для вто­ро­го слу­чая.

По усло­вию ки­не­ти­че­ская энер­гия ча­сти­цы про­пор­ци­о­наль­на ча­сто­те её об­ра­ще­ния: E_к=kf рав­но­силь­но дробь, чис­ли­тель — m\upsilon в сте­пе­ни 2 , зна­ме­на­тель — 2 =k дробь, чис­ли­тель — qB, зна­ме­на­тель — 2 Пи m , где k — некий ко­эф­фи­ци­ент. Учи­ты­вая, что \upsilon = дробь, чис­ли­тель — qBR, зна­ме­на­тель — m , найдём от­но­ше­ние энер­гий дробь, чис­ли­тель — E, зна­ме­на­тель — E_0 :

дробь, чис­ли­тель — E, зна­ме­на­тель — E_0 = дробь, чис­ли­тель — f, зна­ме­на­тель — f_0 рав­но­силь­но дробь, чис­ли­тель — \upsilon в сте­пе­ни 2 , зна­ме­на­тель — \upsilon _0 в сте­пе­ни 2 = дробь, чис­ли­тель — qB/(2 Пи m), зна­ме­на­тель — qB_0/(2 Пи m) рав­но­силь­но дробь, чис­ли­тель — (qBR/m) в сте­пе­ни 2 , зна­ме­на­тель — (qB_0R_0/m) в сте­пе­ни 2 = дробь, чис­ли­тель — B, зна­ме­на­тель — B_0 рав­но­силь­но дробь, чис­ли­тель — BR в сте­пе­ни 2 , зна­ме­на­тель — B_0R_0 в сте­пе­ни 2 =1 рав­но­силь­но R=R_0 ко­рень из { дробь, чис­ли­тель — B_0, зна­ме­на­тель — B }.

Ответ: R=R_0 ко­рень из { дробь, чис­ли­тель — B_0, зна­ме­на­тель — B }.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, можно воспользоваться законом сохранения энергии. Кинетическая энергия заряженной частицы в постоянном магнитном поле определяется формулой:

$E = \frac{1}{2} m v^2 = q B r v,$

где $E$ - кинетическая энергия частицы, $m$ - масса частицы, $q$ - её заряд, $B$ - индукция магнитного поля, $r$ - радиус окружности, по которой движется частица, $v$ - скорость частицы.

Из условия задачи известно, что кинетическая энергия частицы пропорциональна индукции поля:

$E = k B,$

где $k$ - коэффициент пропорциональности. Также известно, что при увеличении индукции поля скорость частицы увеличивается пропорционально индукции:

$v = k' B,$

где $k'$ - другой коэффициент пропорциональности. Подставляя это в выражение для кинетической энергии, получаем:

$E = \frac{1}{2} m (k' B)^2 = k B.$

Из этого уравнения можно выразить $B$:

$B = \sqrt{\frac{2k}{m k'}}.$

Для частицы с энергией $E = 1$ эВ и скоростью $v = k' B$ получаем:

$1 \text{ эВ} = \frac{1}{2} m (k' B)^2.$

Аналогично, для частицы с энергией $E_0 = 0.4$ эВ и скоростью $v_0 = 60$ м/с:

$0.4 \text{ эВ} = \frac{1}{2} m (60 \text{ м/с})^2.$

Из этих двух уравнений можно найти коэффициенты $k$ и $k'$ и, затем, подставить их в выражение для $B$. Наконец, частота вращения частицы находится через формулу:

$\nu = \frac{v}{2\pi r}.$

Где $r$ - радиус окружности, который можно найти из выражения для центростремительного ускорения:

$F_c = \frac{mv^2}{r} = qvB.$

Решив эту систему уравнений, можно найти частоту вращения частицы.