Question

Тіло одночасно бере участь у двох рухах із однаковими швидкостями v1 = v2 = v, що напрямлені під кутом α = 120° одна до одної. Визначити величину та напрям швидкості v0 результуючого руху тіла. [v0 = v, вздовж бісектриси кута α]

Answer 1

Швидкість v0 результуючого руху тіла можна знайти за допомогою правила паралелограма. Згідно з цим правилом, вектори швидкостей v1 та v2 можна представити як дві сторони паралелограма, а вектор результуючої швидкості v0 - як його діагональ. Оскільки кут між векторами швидкостей дорівнює 120°, то кут між діагоналлю та стороною паралелограма дорівнює 60°. Тоді за теоремою косинусів маємо:

$v_0^2 = v_1^2 + v_2^2 - 2v_1v_2\cos60^\circ = 2v^2 - 2v^2\cdot \frac{1}{2}= v^2$

$v_0=v$

Напрям швидкості v0 спрямований вздовж бісектриси кута α.

Answer 2

Давайте розглянемо вектори швидкості тіла відносно системи координат x-y. Нехай $\vec{v_1}$ - це швидкість тіла вздовж першої вісі, а $\vec{v_2}$ - це швидкість тіла вздовж другої вісі. Обидві швидкості мають однаковий модуль $v$.

Ми можемо використовувати правило паралелограма для визначення вектору результуючої швидкості $\vec{v_0}$:

$\vec{v_0} = \vec{v_1} + \vec{v_2}$

Вектор $\vec{v_0}$ має бути напрямлений вздовж бісектриси кута $\alpha$. Так як $\alpha = 120°$, бісектриса буде напрямлена під кутом $\frac{\alpha}{2} = 60°$ до кожного з векторів $\vec{v_1}$ і $\vec{v_2}$.

Можна використовувати геометричні властивості трикутника для знаходження відомого кута в правильному трикутнику (60°). Оскільки $\vec{v_1}$ і $\vec{v_2}$ мають однакові швидкості та напрямлені під кутом 120° один до одного, то вони утворюють правильний трикутник. Звідси, можна сказати, що вектор $\vec{v_0}$ буде напрямлений під кутом 60° відносно кожного з векторів $\vec{v_1}$ і $\vec{v_2}$.

Отже, результуючий вектор $\vec{v_0}$ матиме такі компоненти:

$v_{0x} = v \cos(60°)$ $v_{0y} = v \sin(60°)$

Модуль результуючої швидкості $v_0$ можна знайти за допомогою теореми Піфагора:

$v_0 = \sqrt{v_{0x}^2 + v_{0y}^2}$

Підставляючи значення, отримаємо:

$v_0 = \sqrt{(v \cos(60°))^2 + (v \sin(60°))^2}$

$v_0 = \sqrt{v^2 \cos^2(60°) + v^2 \sin^2(60°)}$

$v_0 = \sqrt{v^2 (\cos^2(60°) + \sin^2(60°))}$

$v_0 = \sqrt{v^2}$