Question

В колебательном контуре конденсатор емкостью 10 нФ поменяли на конденсатор емкостью 2,5 нФ. Если частота колебаний была 2∙105 Гц, то после замены она сталаA) 200 кГц B) 500 кГц C) 10 кГц D) 400 кГцE) 100 кГц

Answer 1

$\omega= \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}; \ \omega_{(C)}= \frac{1}{2 \pi \sqrt{L}}* \frac{1}{\sqrt{C}}=k*\frac{1}{\sqrt{C}}; \\ \omega_{(10)}=k*\frac{1}{\sqrt{10}}=2*10^5 \to k=2*10^5* \sqrt{10}; \\ \omega_{(2.5)}=k*\frac{1}{\sqrt{2.5}}=2*10^5* \sqrt{ \frac{10}{2.5}}=4*10^5=400 \, (KHz)$

Answer 2

Частота колебаний в колебательном контуре зависит от емкости конденсатора и индуктивности катушки по следующей формуле:

$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Где:

• $f$ - частота колебаний
• $L$ - индуктивность катушки
• $C$ - емкость конденсатора

Изначально частота колебаний равна $2 \cdot 10^5$ Гц, а емкость $C$ равна 10 нФ, что равно $10 \cdot 10^{-9}$ Ф. Давайте обозначим эту частоту как $f_1$ и емкость как $C_1$:

$f_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}$

Теперь, после замены конденсатора, его емкость стала 2,5 нФ, что равно $2,5 \cdot 10^{-9}$ Ф. Давайте обозначим новую частоту как $f_2$ и новую емкость как $C_2$:

$f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}}$

Мы хотим найти, как изменилась частота, поэтому мы можем взять отношение $f_2$ к $f_1$:

$\frac{f_2}{f_1} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}}$

Сокращаем общие части:

$\frac{f_2}{f_1} = \frac{\sqrt{LC_1}}{\sqrt{LC_2}}$

Теперь мы можем подставить значения:

$\frac{f_2}{f_1} = \frac{\sqrt{10 \cdot 10^{-9}}}{\sqrt{2,5 \cdot 10^{-9}}}$

$\frac{f_2}{f_1} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2,5}}$

$\frac{f_2}{f_1} = \frac{\sqrt{10}}{1.58}$

$\frac{f_2}{f_1} \approx 6.32$

Теперь, чтобы найти $f_2$