Question

По проводнику сопротивлением 10 Ом начинает течь ток, медленно изменяющийся по синусоидальному закону: I = Im*sinωt, где Im = 2 А, ω = π/4 рад/с. Определить количество теплоты, выделившееся в проводнике за первые 4 с. времени.

Answer 1

Здесь решим по закону Джоуля-Ленца.Но для начала найдем силу тока за 4  секунды.I=2 A*(я сразу π/4 перевел в градусы ,это равняется 45 градусам ,а мы знаем ,что синус 45 градусов равняется √2/2)√2/2*4=>I=(2 сокращаем)4*√2=>Дальше поможет закон Джоуля-Ленца.Q=I^2*R*t=>Q=(4*√2)^2 A*10 Om*4 c=>Q=(16*2) A*10 Om*4 c=>Q=1280 Дж.
Ответ:1280 Дж.

Answer 2

Для определения количества теплоты, выделившегося в проводнике, можно воспользоваться формулой для расчета тепловой энергии (Q), выделяющейся в проводнике:

Q = I^2 * R * t

Где: Q - количество теплоты (в джоулях, Дж), I - мгновенное значение тока в проводнике (в амперах, А), R - сопротивление проводника (в омах, Ом), t - время (в секундах, с).

Для вашего случая I = Im * sin(ωt), R = 10 Ом, и t = 4 секунды.

Итак, для первых 4 секунд времени:

Q = ∫[0 to 4] (Im * sin(π/4 * t))^2 * 10 dt

Сначала найдем I(t):

I(t) = Im * sin(π/4 * t) = 2 * sin(π/4 * t)

Теперь подставим это значение в интеграл:

Q = 10 * ∫[0 to 4] (2 * sin(π/4 * t))^2 dt

Q = 10 * ∫[0 to 4] (4 * sin^2(π/4 * t)) dt

Q = 40 * ∫[0 to 4] (sin^2(π/4 * t)) dt

Теперь используем тождество для sin^2:

sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2

Q = 40 * ∫[0 to 4] [(1 - cos(2 * π/4 * t)) / 2] dt

Q = 40 * ∫[0 to 4] [(1 - cos(π/2 * t)) / 2] dt

Теперь проинтегрируем:

Q = 40 * [t/2 - (2/π) * sin(π/2 * t)] |[0 to 4]

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

Q = 40 * [(4/2 - (2/π) * sin(π/2 * 4)) - (0/2 - (2/π) * sin(π/2 * 0))]

Q = 40 * [(2 - (2/π) * sin(2π)) - (0 - 0)]

Так как sin(2π) = 0, получаем:

Q = 40 * [2 - 0] = 80 Дж

Итак, количество теплоты, выделившееся в проводнике за первые 4 секунды времени, равно 80 джоулей.