Question

Два груза массами m и М связаны нерастяжимой нитью, перекинутой через неподвижный блок. Коэффициент трения между грузами и гранями клина μ = 0,2. Угол наклона клина α = 45°. Определите, при каком соотношении между массами грузов возможно равновесие системы. Массой нити и блока можно пренебречь.

Answer 1

Mg*sin(α)-mg*sin(α)<=Mg*cos(α)*μ+mg*cos(α)*μ
mg*sin(α)-Mg*sin(α)<=Mg*cos(α)*μ+mg*cos(α)*μ
*****************************************************
(M-m)*sin(α)<=(M+m)*cos(α)*μ
(m-M)*sin(α)<=(M+m)*cos(α)*μ
*****************************************************
(M-m)*tg(α)<=(M+m)*μ
(m-M)*tg(α)<=(M+m)*μ
*****************************************************
M*(tg(α)-μ)<=m*(μ+tg(α))
m*(tg(α)-μ)<=M*(μ+tg(α))
*****************************************************
M*(1-0,2)<=m*(0,2+1)
m*(1-0,2)<=M*(0,2+1)
*****************************************************
M*0,8<=m*1,2
m*0,8<=M*1,2
*****************************************************
M*2/3<=m
m<=M*1,5
*****************************************************
M*2/3 <= m <= M*1,5

Answer 2

Для определения условия равновесия системы, нужно учесть равенство сил и моментов сил вокруг блока. Поскольку коэффициент трения μ известен, мы можем рассчитать силу трения между грузами и клином.

Первым шагом найдем силу натяжения T в нити. Эта сила будет равна силе тяжести, действующей на груз массой m:

$T = m \cdot g$

где $g$ - ускорение свободного падения (приближенно 9.8 м/с²).

Следующим шагом найдем силу трения $F_{\text{тр}}$ между грузом массой $m$ и клином. Эта сила будет направлена вверх по клину и будет равна произведению коэффициента трения $\mu$ на нормальную силу $N$, которая равна проекции силы натяжения $T$ на нормаль к поверхности клина:

$N = T \cdot \cos(\alpha)$

$F_{\text{тр}} = \mu \cdot N = \mu \cdot T \cdot \cos(\alpha)$

Теперь, чтобы система была в равновесии, груз массой $М$ должен применять такую же силу $F_{\text{тр}}$ вниз по клину. Следовательно:

$F_{\text{тр}} = M \cdot g \cdot \sin(\alpha)$

Сравнивая два выражения для $F_{\text{тр}}$, мы получаем:

$\mu \cdot T \cdot \cos(\alpha) = M \cdot g \cdot \sin(\alpha)$

Подставляя выражение для $T$, получаем:

$\mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha) = M \cdot g \cdot \sin(\alpha)$

Сокращая $g$ и упрощая выражение:

$\mu \cdot m \cdot \cos(\alpha) = M \cdot \sin(\alpha)$

Подставляем известные значения $\mu = 0.2$ и $\alpha = 45^\circ$ (переведенный в радианы $\alpha = \frac{\pi}{4}$):

$0.2 \cdot m \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = M \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$

$0.2 \cdot m \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = M \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$0.2 \cdot m = M$

Итак, равновесие системы будет достигнуто, если масса $M$ груза будет равна 0.2 раза массе $m$ груза:

$M = 0.2 \cdot m$

Это условие равновесия системы при заданных параметрах.