Question

В цилиндрических сообщающихся сосудах находится вода. Площадь поперечного сечения широкого сосуда в 4 раза больше площади поперечного сечения узкого сосуда. В узкий наливают керосин, который образует столб высотой 20см. На сколько повысится уровень воды в широком сосуде и опуститься в узком?

Answer 1

Исследуемая конструкция (сообщающиеся сосуды) состоит из двух длинных цилиндрических вертикальных трубок, узкой и широкой, соединенных снизу горизонтальной трубкой. При этом узкая трубка намного выше, чем широкая. Внутренний диаметр широкой трубки d1=6.7 см, узкой d2=2.7 см. Сначала систему приводят в первоначальное состояние: до верхнего края широкой трубки наливают жидкость, имеющую плотность 0.85 г/см3. После чего проводят эксперимент: в эту трубку аккуратно опускают поршень - цилиндрический груз массой 128 г, скользящий внутри трубки без трения и подтекания жидкости. Поршень останавливается в равновесии в некотором положении.
На какой высоте h в результате будет находиться верх жидкости в узкой трубке относительно дна поршня в широкой трубке?
На какую высоту h1 относительно первоначального положения опустится жидкость в широкой трубке?
На какую высоту h2 относительно первоначального положения поднимется жидкость в узкой трубке?
Значения вводить с точностью до тысячных. Вычисления проводить с точностью не менее 4 значащих цифр. Считайте, что число π=3.1416.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения объема жидкости.

Обозначим площадь поперечного сечения узкого сосуда через S1, а широкого сосуда через S2. Так как площадь поперечного сечения широкого сосуда в 4 раза больше, то S2 = 4 * S1.

Обозначим уровень воды в узком сосуде до добавления керосина через h1 и после добавления керосина через h1'. Обозначим уровень воды в широком сосуде до и после добавления керосина через h2 и h2'.

Закон сохранения объема гласит, что объем жидкости остается неизменным при переливе из одного сосуда в другой.

Объем воды в узком сосуде до добавления керосина: V1 = S1 * h1

Объем воды в узком сосуде после добавления керосина: V1' = S1 * (h1 + 20см)

Объем керосина: V_kerosin = S1 * 20см

Объем воды в широком сосуде до добавления керосина: V2 = S2 * h2 = (4 * S1) * h2

Объем воды в широком сосуде после добавления керосина: V2' = S2 * h2' = (4 * S1) * h2'

Закон сохранения объема гласит, что V1 + V_kerosin = V1' + V2'

Подставим значения объемов и заменим S2 на 4 * S1:

S1 * h1 + S1 * 20см = S1 * (h1 + 20см) + 4 * S1 * h2'

Раскроем скобки:

S1 * h1 + S1 * 20см = S1 * h1 + S1 * 20см + 4 * S1 * h2'

Упростим выражение:

S1 * h1 = 4 * S1 * h2'

Сократим S1:

h1 = 4 * h2'

Теперь мы знаем, что высота узкого сосуда (h1) равна 4 раза высоте широкого сосуда (h2).

Теперь, когда у нас есть это соотношение, можем рассчитать, насколько повысится уровень воды в широком сосуде и опустится в узком.

1. Повышение уровня воды в широком сосуде (Δh2): Δh2 = h1 = 4 * h2

2. Понижение уровня воды в узком сосуде (Δh1): Δh1 = h2

Таким образом, уровень воды в широком сосуде повысится на 4 раза больше, чем уровень воды опустится в узком сосуде.