Question

Тело, брошенное вверх со скоростью V0 двигалось до падения на землю 12 с. Тело, брошенное из той же точки вниз с той же скоростью V0 падало 3 с. Сколько времени из этой точки будет падать тело без начальной скорости? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Answer 1

Высота первого тела в зависимости от времени:
y(t) = H + vo t - 0.5 g t^2
Падение в момент t1:
H + vo t1 - 0.5 g t1^2 = 0
Высота второго тела от времени:
y(t) = H - vo t - 0.5 g t^2
Падение в момент t2:
H - vo t2 - 0.5 g t2^2 = 0

Получаем систему из 2 линейных уравнений и 2 неизвестных H, Vo:
H - Vo t1 = 0.5 g t1^2
H +Vo t2 = 0.5 g t2^2
Из нее находим H:
H = 0.5 g t1 t2

Запишем зависимость высоты от времени для третьего тела:
y(t) = H - 0.5 g t^2
Падение третьего тела:
H - 0.5 g t3^2 = 0
t3 = sqr(2 H / g) = sqr(t1 t2)

Ответ: t3 = sqr( t1 t2) = 6(c)

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из движений отдельно.

1. Тело, брошенное вверх: При броске тела вверх с начальной скоростью V0, оно двигается вверх в течение некоторого времени, замедляется до полной остановки и затем начинает свое свободное падение обратно к земле.

Мы знаем, что время подъема равно времени падения, и общее время движения вверх и обратно составляет 12 секунд. Таким образом, время подъема составляет 6 секунд, а время падения обратно на землю также составляет 6 секунд.

2. Тело, брошенное вниз: Теперь тело брошено вниз с той же начальной скоростью V0. Время падения составляет 3 секунды.

Теперь давайте найдем высоту, на которой находится тело, когда начинает свое свободное падение в каждом из этих движений.

Высота, на которой находится тело при начале свободного падения в первом случае (после подъема), будет такой же, как высота, на которой находится тело при начале свободного падения во втором случае (после броска вниз).

Теперь найдем эту высоту.

Для движения вверх: h = V0 * t - (1/2) * g * t^2

где h - высота, t - время подъема (6 секунд), g - ускорение свободного падения (приближенное значение 9.8 м/с^2).

Для движения вниз: h = V0 * t + (1/2) * g * t^2

где h - высота, t - время падения (3 секунды), g - ускорение свободного падения (приближенное значение 9.8 м/с^2).

Теперь установим эти два выражения равными друг другу и найдем V0:

V0 * 6 - (1/2) * 9.8 * 6^2 = V0 * 3 + (1/2) * 9.8 * 3^2

6V0 - 1/2 * 9.8 * 36 = 3V0 + 1/2 * 9.8 * 9

6V0 - 176.4 = 3V0 + 44.1

6V0 - 3V0 = 44.1 + 176.4

3V0 = 220.5

V0 = 220.5 / 3

V0 ≈ 73.5 м/с

Теперь, когда мы знаем начальную скорость V0, мы можем найти время падения без начальной скорости для этой высоты.

h = (1/2) * g * t^2

где h - высота (такая же, как при начале свободного падения после броска вниз), t - время падения без начальной скорости.

Подставляем известные значения:

h = (1/2) * 9.8 * t^2

t^2 = h / (1/2 * 9.8)

t^2 = 2h / 9.8

t = √(2h / 9.8)

t = √(2 * 36 / 9.8)

t ≈ √(7.3469)

t ≈ 2.71 секунд

Таким образом, тело будет падать без начальной скорости примерно 2.71 секунды.