Question

Материальная точка движется по окружности, радиус которой 10м. Зависимость пути, пройденного точкой, от времени выражается уравнением s = t3 + 2t2 - t + 16. Определить пройденный путь, угловую скорость и угловое ускорение точки через 3 с от начала ее движения.

Answer 1

Путь:
S(t) = t³ + 2*t²- t + 16
S(3) = 3³ + 2*3²- 3 + 16 = 58 м

Скорость - первая производная от пути:
V(t) = S' = 3*t² + 4*t -1
V(3) = 3*3² + 4*3 - 1 = 38 м/с

Ускорение - первая производная от скорости:
a(t)= V' = 6*t + 4
a(3) = 6*3+4 = 22 м/с²

Нормальное ускорение
an = V² / R = 38² / 10 ≈ 144 м/с²

Answer 2

Для определения пройденного пути, угловой скорости и углового ускорения точки через 3 секунды от начала ее движения, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти путь, пройденный точкой через 3 секунды. Для этого подставим t = 3 в уравнение s = t^3 + 2t^2 - t + 16 и вычислим значение s.

2. Найти угловую скорость. Угловая скорость (ω) определяется как производная пути по времени: ω = ds/dt.

3. Найти угловое ускорение. Угловое ускорение (α) определяется как производная угловой скорости по времени: α = dω/dt.

Давайте выполнять расчеты.

1. Найдем путь, пройденный точкой через 3 секунды: s = t^3 + 2t^2 - t + 16 s = 3^3 + 2(3)^2 - 3 + 16 s = 27 + 18 - 3 + 16 s = 58 метров

Таким образом, пройденный путь точки через 3 секунды составляет 58 метров.

2. Найдем угловую скорость (ω): Угловая скорость связана с линейной скоростью (v) и радиусом окружности (r) следующим образом: ω = v / r.

Мы знаем путь (s) и время (t) от начала движения до t = 3 секунды. Чтобы найти линейную скорость, нам понадобится производная пути по времени: v = ds/dt.

v = d/dt(t^3 + 2t^2 - t + 16) v = 3t^2 + 4t - 1

Теперь, чтобы найти угловую скорость, нам нужно разделить линейную скорость на радиус окружности: ω = (3t^2 + 4t - 1) / r

Подставим t = 3 и r = 10: ω = (3(3)^2 + 4(3) - 1) / 10 ω = (27 + 12 - 1) / 10 ω = 38 / 10 ω = 3.8 рад/с

Угловая скорость точки через 3 секунды равна 3.8 радиан в секунду.

3. Найдем угловое ускорение (α): Угловое ускорение определяется как производная угловой скорости по времени: α = dω/dt.

α = d/dt(3t^2 + 4t - 1) α = 6t + 4

Теперь подставим t = 3: α = 6(3) + 4 α = 18 + 4 α = 22 рад/с^2

Угловое ускорение точки через 3 секунды равно 22 радиан в секунду в квадрате.

Итак, мы получили следующие значения:

• Пройденный путь: 58 метров
• Угловая скорость: 3.8 рад/с
• Угловое ускорение: 22 рад/с^2