Question

Белый свет с длинами волн от 400 до 700 нм падает на дифракционную решетку,в которой 4000 штрихов приходятся на 1 см.Перекрывается ли фиолетовый максимум в спектре третьего порядка с красным максимумом в спектре второго порядка?

Answer 1

Λ₁=400 нм- длина волн фиолетового цвета 
λ₂=700 нм- длина волн красного цвета 
l=1 см     N=4000
d=l/N=2.5*10⁻⁶=2.5 мкм - период дифракционной решетки

k₁=3   k₂=2
α- кут фиолетового максимума в спектре третьего порядка 
β- кут красного максимума в спектре второго порядка 
если sinα<sinβ , то фиолетовый максимум в спектре третьего порядка перекрывается красным максимумом в спектре второго порядка
d*sinα=k₁*λ₁
sinα=k₁*λ₁/d=12/25
d*sinβ=k₂*λ₂
sinβ=k₂*λ₂/d=14/25

sinβ>sinα  , а значит Да, перекрывается

Answer 2

Для определения, перекрывается ли фиолетовый максимум в спектре третьего порядка с красным максимумом в спектре второго порядка, нам понадобится информация о дифракционной решетке и длинах волн различных цветов.

Дифракционная решетка содержит 4000 штрихов на 1 см, что означает, что расстояние между соседними штрихами (шаг решетки) равно:

Шаг решетки (d) = 1 см / 4000 = 0.00025 см = 0.0025 мм.

Для дифракционной решетки с шагом d истинный угол дифракции (θ) для максимума n-го порядка определяется следующим уравнением:

nλ = d * sin(θ),

где: n - порядок максимума, λ - длина волны света, d - шаг решетки.

Мы знаем, что фиолетовый свет имеет длину волны около 400 нм (нанометров), а красный свет имеет длину волны около 700 нм. Для третьего порядка максимума (n = 3) и второго порядка максимума (n = 2) соответственно:

Для фиолетового света (λ = 400 нм):

sin(θ_ф) = n * λ / d = 3 * 400 нм / 0.0025 мм ≈ 0.48.

Для красного света (λ = 700 нм):

sin(θ_к) = n * λ / d = 2 * 700 нм / 0.0025 мм ≈ 0.56.

Теперь мы должны проверить, перекрываются ли углы дифракции для фиолетового света в третьем порядке (θ_ф) и красного света во втором порядке (θ_к). Если они перекрываются, то фиолетовый максимум и красный максимум будут наблюдаться на одном и том же угле дифракции, и они будут перекрываться.

Максимальный угол дифракции на дифракционной решетке ограничивается условием синуса:

θ_макс = arcsin(1) ≈ 90°.

Таким образом, фиолетовый максимум (n = 3) и красный максимум (n = 2) перекрываются только в том случае, если оба угла дифракции меньше максимального угла дифракции:

θ_ф < θ_макс и θ_к < θ_макс.

Теперь проверим:

sin(θ_ф) ≈ 0.48 < 1 (верно), sin(θ_к) ≈ 0.56 < 1 (верно).

Таким образом, фиолетовый максимум в спектре третьего порядка перекрывается с красным максимумом в спектре второго порядка на дифракционной решетке.