Question

Определите положение центра масс половины круглого диска радиусом R, считая его однородным.

Answer 1

Надо воспользоваться известными  формулами:

Xc = 0

Yc = 4·R / (3·π)

Answer 2

Для определения положения центра масс половины круглого диска радиусом R, предположим, что половина круга занимает угловой сектор с углом α (в радианах) и считаем его однородным, что означает равномерную плотность массы по всей его площади.

Для начала, найдем массу этой половины круга. Общая масса круга равна массе половины круга, так как они имеют одинаковую плотность, но оба куска образуют весь круг.

Масса полного круга (M) равна:

M = плотность * объем = плотность * площадь круга.

Объем круга можно записать через его радиус R:

V = (площадь круга) = π * R^2.

Теперь мы можем записать массу половины круга (m):

m = M / 2 = (плотность * V) / 2 = (плотность * π * R^2) / 2.

Теперь определим положение центра масс половины круга. Центр масс лежит на радиусе, проходящем через центр круга и центр масс половины круга. Пусть этот радиус обозначается как R_cm.

Момент массы половины круга относительно его центра (M_cm) можно вычислить, используя момент инерции для половины круга относительно его диаметра (I):

I = (1/4) * m * R^2.

Теперь мы можем записать момент массы (M_cm) через массу (m) и положение центра массы (R_cm):

M_cm = m * R_cm.

Центр массы половины круга находится на расстоянии R_cm от его центра, поэтому положение центра массы (R_cm) можно выразить через момент массы и массу:

R_cm = M_cm / m = (m * R_cm) / m = R_cm.

Таким образом, мы получаем, что положение центра масс половины круга радиусом R с однородной плотностью находится на расстоянии R от его центра, что логично, так как она является его геометрическим центром.