Question

Вычислите высоту на которой гравитационная сила, действующая на тело будет в 6.5 раз меньше, чем на поверхности Земли. Радиус Земли принять равным 6370 км.

Answer 1

Закон всемирного тяготения

Answer 2

Для вычисления высоты, на которой гравитационная сила будет в 6.5 раз меньше, чем на поверхности Земли, мы можем использовать закон всемирного тяготения, который гласит:

$F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}}$

где: $F$ - гравитационная сила между телами, $G$ - гравитационная постоянная ($6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}$), $M$ - масса Земли ($5.972 \times 10^{24} \, \text{кг}$), $m$ - масса тела, $r$ - расстояние от центра Земли до центра тела.

На поверхности Земли ($r = 6370 \, \text{км}$), гравитационная сила $F_1$ равна:

$F_1 = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{(6370 \, \text{км})^2}}$

На высоте $h$ от поверхности Земли ($r = 6370 \, \text{км} + h$), гравитационная сила $F_2$ будет:

$F_2 = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{(6370 \, \text{км} + h)^2}}$

Условие задачи гласит, что $F_2$ должно быть в 6.5 раз меньше, чем $F_1$. То есть:

$F_2 = \frac{1}{6.5} \cdot F_1$

Подставляем значения и находим $h$:

$\frac{{G \cdot M \cdot m}}{{(6370 \, \text{км} + h)^2}} = \frac{1}{6.5} \cdot \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{(6370 \, \text{км})^2}}$

Сокращаем на $G \cdot M \cdot m$ с обеих сторон:

$\frac{1}{{(6370 \, \text{км} + h)^2}} = \frac{1}{6.5 \cdot (6370 \, \text{км})^2}$

Теперь решаем уравнение относительно $h$:

$(6370 \, \text{км} + h)^2 = 6.5 \cdot (6370 \, \text{км})^2$

Раскрываем скобки:

$6370 \, \text{км} + h = \sqrt{6.5} \cdot 6370 \, \text{км}$

Вычитаем $6370 \, \text{км}$ с обеих сторон:

$h = \sqrt{6.5} \cdot 6370 \, \text{км} - 6370 \, \text{км}$

Теперь вычисляем значение $h$:

$h \approx 8550.42 \, \text{км}$

Таким образом, высота, на которой гравитационная сила будет в 6.5 раз меньше, чем на поверхности Земли, составит около 8550.42 км.