Question

Шарик, подвешенный на невесомой пружине, совершает вертикальные колебания с периодом T=3,0 c. Каким станет период колебаний, если снизу к шарику поднести горизонтальную плиту, с которой шарик будет периодически упруго сталкиваться? Расстояние от положения равновесия шарика до плиты равно половине амплитуды.

Answer 1

найдем время которое требуется для прохождения расстояния от максимального до X=А\2

X=A*coswt

А\2=A*cоswt

cоswt=1\2

2п*t\T=п\6

t=T\12

значит новый период будет Tн=T-2t=T-T\6=5T\6=3*5\6=2,5 с

Answer 2

Когда шарик совершает вертикальные колебания на невесомой пружине без внешних воздействий, его период T определяется только массой и жесткостью пружины, но не зависит от амплитуды колебаний или от расстояния до плиты.

Однако, когда снизу к шарику подносят горизонтальную плиту, с которой он периодически сталкивается, происходит изменение в динамике системы, и период колебаний будет изменен.

Для определения нового периода колебаний, обратимся к закону сохранения механической энергии. При максимальной амплитуде колебаний, когда шарик находится в положении максимального отклонения, вся потенциальная энергия пружины превращается в кинетическую энергию шарика и наоборот.

Масса шарика обозначим как m, а амплитуду вертикальных колебаний как A. Расстояние от положения равновесия до плиты равно половине амплитуды, т.е., A/2.

Находясь в максимально отклоненном положении, шарик обладает только кинетической энергией. По закону сохранения энергии:

1/2 * m * v^2 = 1/2 * k * A^2

где v - скорость шарика в максимальном отклонении, k - жесткость пружины.

Теперь предположим, что в момент столкновения с плитой, шарик обладает минимальной скоростью (равной нулю) и вся его энергия переходит в потенциальную энергию пружины. В этом положении пружина сжата на величину A/2.

1/2 * k * (A/2)^2 = 1/2 * m * v'^2

где v' - скорость шарика при соприкосновении с плитой.

Мы также знаем, что период колебаний T связан с жесткостью пружины k и массой m следующим образом:

T = 2 * π * √(m / k)

Теперь, сочетая оба уравнения, мы можем найти новый период колебаний T':

2 * π * √(m / k) = 2 * π * √(m / (2 * k))

Теперь массу m можно сократить:

√(1 / k) = √(1 / (2 * k))

Упрощая, получаем:

1 / k = 1 / (2 * k)

Теперь умножим обе части на 2k и получим:

2 = 1

Это уравнение невозможно. Возникает противоречие, и оно не имеет решения. Это означает, что снизу поднесенная плита не повлияет на период вертикальных колебаний шарика на невесомой пружине. Период останется равным T = 3,0 секунды.