Question

Кислород находится в сосуде 2 л при температуре t = 27С и давлении р = 100кПа. Найти среднюю скорость молекулы кислорода

Answer 1

<v²> = 3 * R * T / M(O₂)

<v> = √(3 * 8,31 Дж/(моль*К) * 300 К / 32*10⁻³ кг/моль) ≈ 480 м/с

Answer 2

Для вычисления средней скорости молекулы кислорода, можно использовать идеальный газовый закон и формулу для средней кинетической энергии молекул.

Идеальный газовый закон: $PV = nRT$

где: $P$ - давление газа, $V$ - объем газа, $n$ - количество вещества газа (в молекулах), $R$ - универсальная газовая постоянная ($8.314 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К})$), $T$ - абсолютная температура (в Кельвинах).

Переведем заданные значения в соответствующие единицы СИ: $V = 2 \, \text{л} = 0.002 \, \text{м}^3$ (1 л = 0.001 м^3), T = 27 \, ^\circ \text{C} = 27 + 273.15 = 300.15 \, \text{K} (перевод из градусов Цельсия в Кельвины), $P = 100 \, \text{кПа} = 100 \times 10^3 \, \text{Па}$.

Теперь мы можем найти количество молекул кислорода $n$, используя идеальный газовый закон:

$n = \frac{{PV}}{{RT}}$

$n = \frac{{100 \times 10^3 \, \text{Па} \times 0.002 \, \text{м}^3}}{{8.314 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К}) \times 300.15 \, \text{K}}} \approx 0.080 \, \text{моль}$

Теперь, чтобы найти среднюю скорость молекулы кислорода, мы используем формулу для средней кинетической энергии молекул:

$E_{\text{ср}} = \frac{{3kT}}{2}$

где: $E_{\text{ср}}$ - средняя кинетическая энергия молекулы, $k$ - постоянная Больцмана ($1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К}$), $T$ - абсолютная температура (в Кельвинах).

Теперь, когда у нас есть значение средней кинетической энергии, можно вычислить среднюю скорость молекулы кислорода через следующее соотношение:

$E_{\text{ср}} = \frac{1}{2} m \langle v^2 \rangle$

где: $m$ - масса одной молекулы кислорода, $\langle v^2 \rangle$ - среднее значение квадрата скорости молекулы.

Масса одной молекулы $m$ можно найти, разделив массу молекулы кислорода на число Авогадро (приблизительно $6.022 \times 10^{23}$ молекул в 1 моль):

$m = \frac{{32 \, \text{г/моль}}}{{6.022 \times 10^{23} \, \text{моль}^{-1}}} \approx 5.31 \times 10^{-26} \, \text{кг}$

Теперь, подставив значения в уравнение для средней кинетической энергии, можно найти $\langle v^2 \rangle$:

$\frac{3kT}{2} = \frac{1}{2} m \langle v^2 \rangle$

$\langle v^2 \rangle = \frac{3kT}{m}$

$\langle v^2 \rangle = \frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К} \times 300.15 \, \text{K}}{5.31 \times 10^{-26} \, \text{кг}} \approx 2.61 \times 10^5 \, \text{м}^2/\text{с}^2$

Теперь найдем среднюю скорость $\langle v \rangle$ молекулы кислорода, просто извлекая квадратный корень из $\langle v^2 \rangle$:

$\langle v \rangle \approx \sqrt{2.61 \times 10^5 \, \text{м}^2/\text{с}^2} \approx 510 \, \text{м/с}$

Таким образом, средняя скорость молекулы кислорода при заданных условиях составляет около 510 м/с.