Question

Математический маятник (масса шарика 25 г, длина нити 2,4 м) совершает гармонические колебания, отклоняясь на угол 5° от вертикали.Найти:0) амплитуду колебаний (в метрах);1) циклическую частоту;2) максимальную скорость шарика;3) энергию колебаний.

Answer 1

Смотри чертеж!

Если колебания малы (α = 5 °), то движение маятника можно считать прямолинейным (отрезок АВ), сл-но этот отрезок является амплитудой колебаний.

Из ΔВСО имеем: СВ / ОВ = sin (α/2), но СВ = А/2, где А - амплитуда, а ОВ = L - длина маятника

А / (2 * L) = sin (α/2) => A = 2 * L * sin (α/2)

A = 2 * 2,4 м * sin (2,5°) ≈ 0,21 м = 21 см

ω = √(g / L) = √(10 м/с² / 2,4 м) ≈ 2,0 рад/с

vmax = A * √(g / L) = 0.21 м * √(10 м/с² / 2,4 м) ≈ 0,43 м/с

Wmax = m*g*A²/(2*L) = 0,025 кг * 10 м/с² * (0,21 м)² / (2 * 2,4 м) ≈ 2,3*10⁻³ Дж = 2,3 мДж

Answer 2

Для решения данной задачи, нам понадобятся следующие формулы для математического маятника:

1. Период колебаний (T) в секундах: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

2. Циклическая частота (ω) в радианах в секунду: $\omega = \frac{2\pi}{T}$

3. Амплитуда колебаний (A) в метрах: $A = L \sin(\theta_0)$

4. Максимальная скорость (V_max) в метрах в секунду: $V_{\text{max}} = A \omega$

5. Энергия колебаний (E) в джоулях: $E = \frac{1}{2} m V_{\text{max}}^2$

Где:

• $L$ - длина нити (в данном случае, 2.4 м)
• $g$ - ускорение свободного падения (приближенное значение 9.81 м/с²)
• $\theta_0$ - угол отклонения от вертикали (в радианах), который равен $\frac{5\pi}{180}$ радиан (переводим 5° в радианы)
• $m$ - масса шарика (в данном случае, 25 грамм, переведем в килограммы)

Давайте решим задачу:

0. Амплитуда колебаний (A): $A = L \sin(\theta_0) = 2.4 \cdot \sin\left(\frac{5\pi}{180}\right)$

1. Циклическая частота (ω): $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ $\omega = \frac{2\pi}{T}$

2. Максимальная скорость шарика (V_max): $V_{\text{max}} = A \omega$

3. Энергия колебаний (E): $E = \frac{1}{2} m V_{\text{max}}^2$

Для решения всех этих пунктов, давайте сначала переведем массу шарика в килограммы:

$m = 25 \, \text{г} = 0.025 \, \text{кг}$

Теперь рассчитаем значения по указанным формулам:

0. Амплитуда колебаний (A): $A = 2.4 \cdot \sin\left(\frac{5\pi}{180}\right) \approx 0.209 \, \text{м}$

1. Циклическая частота (ω): $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{2.4}{9.81}} \approx 1.239 \, \text{с}$ $\omega = \frac{2\pi}{T} \approx 5.073 \, \text{рад/с}$

2. Максимальная скорость шарика (V_max): $V_{\text{max}} = A \omega \approx 0.209 \cdot 5.073 \approx 1.060 \, \text{м/с}$

3. Энергия колебаний (E): $E = \frac{1}{2} m V_{\text{max}}^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.025 \cdot 1.060^2 \approx 0.014 \, \text{Дж}$

Таким образом, ответы на все пункты задачи:

0. Амплитуда колебаний: примерно 0.209 метров
1. Циклическая частота: примерно 5.073 рад/с
2. Максимальная скорость шарика: примерно 1.060 м/с
3. Энергия колебаний: примерно 0.014 Джouль