Question

каждая из двух одинаковых сферических капелек воды имеет заряд, равный элементарному электрическому заряду. Если сила электрического отталкивания капелек уравновешивает силу гравитационного притяжения то радиус r капельки равен ... мкм

Answer 1

Решение задачи:


Пусть R — расстояние между капельками воды.

Так как на каждой капельке воды находится по одному лишнему электрону, то по закону Кулона они будут отталкиваться с силой Fэл, равной:

Fэл=ke2R2(1)
В этой формуле k — коэффициент пропорциональности, равный 9·109 Н·м2/Кл2, e — элементарный заряд, равный 1,6·10-19 Кл.

По закону всемирного тяготения капельки воды будут притягиваться с силой Fтяг, определяемой по формуле:

Fтяг=Gm2R2(2)
Здесь G — гравитационная постоянная, она равна 6,67·10-11 Н·м2/кг2.

Массу капельки воды m запишем как произведение плотности воды ρ (она равна 1000 кг/м3) на объем одной капельки V:

m=ρV(3)
Капля имеет шарообразную форму, поэтому её объем V можно найти по формуле:

V=43πr3(4)
Подставим (4) в (3), а полученное в (2), тогда:

Fтяг=16Gρ2π2r69R2(5)
По условию задачи сила электрического отталкивания уравновешивает силу их взаимного тяготения, то есть Fэл=Fтяг, поэтому приравняем (1) и (5):

ke2R2=16Gρ2π2r69R2(6)
ke2=169Gρ2π2r6
Откуда искомый радиус капелек r равен:

r=9ke216Gρ2π2−−−−−−−−√6
Произведём расчёт численного ответа:

r=9⋅9⋅109⋅1,62⋅10—3816⋅6,67⋅10—11⋅10002⋅3,142−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√6=0,0000763м=76,3мкм


Ответ: 76,3 мкм.

Answer 2

Для того чтобы найти радиус капельки, при котором сила электрического отталкивания уравновешивает силу гравитационного притяжения, мы можем использовать соответствующие формулы для этих сил.

Сила гравитационного притяжения между двумя сферическими капельками массой m и расстоянием r между их центрами выражается следующей формулой:

$F_{\text{грав}} = \frac{{G \cdot m^2}}{r^2},$

где G - гравитационная постоянная.

Сила электрического отталкивания между двумя капельками с зарядом q и расстоянием r между их центрами определяется по закону Кулона:

$F_{\text{эл}} = \frac{{k \cdot q^2}}{r^2},$

где k - постоянная Кулона.

Если эти две силы уравновешиваются, то $F_{\text{грав}} = F_{\text{эл}}$:

$\frac{{G \cdot m^2}}{r^2} = \frac{{k \cdot q^2}}{r^2}.$

Теперь, если обе капельки одинаковые, то масса m и заряд q каждой из них равны, так как у них заряд, равный элементарному заряду. Значит, $m = q$.

Теперь мы можем найти радиус r, подставив в уравнение значения:

$\frac{{G \cdot m^2}}{r^2} = \frac{{k \cdot q^2}}{r^2}.$

Отсюда:

$G \cdot m^2 = k \cdot q^2.$

$G \cdot q^2 = k \cdot q^2.$

$G = k.$

Теперь, если подставить числовые значения для гравитационной постоянной и постоянной Кулона, можно найти радиус капельки:

$6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2 = 8.98755 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2.$

$r = \sqrt{\frac{{k \cdot q^2}}{{G}}} = \sqrt{\frac{{8.98755 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \cdot (1.60219 \times 10^{-19} \, \text{Кл})^2}}{{6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2}}}.$

$r \approx 1.65 \times 10^{-6} \, \text{м} \, \text{или} \, 1.65 \, \text{мкм}.$

Таким образом, радиус каждой капельки составляет примерно 1.65 микрометра.