Question

каждая из двух одинаковых сферических капелек воды имеет заряд, равный элементарному электрическому заряду. Если сила электрического отталкивания капелек уравновешивает силу гравитационного притяжения, то радиус r капельки равен ... мкм

Answer 1

Сила Кулона:

F₁ = k*e²/R²

Гравитационная сила:

F₂ = G*m²/R²

(Здесь R - расстояние между капельками)

По условию они равны:

k*e²/R² = G*m²/R²

k*e² = G*m²

Масса капельки:

m = e·√ (k/G) = 1,6·10⁻¹⁹·√ (9·10⁹/1,67·10⁻¹¹) ≈ 1,86·10⁻⁹ кг

Находим объем капельки:

V = m/ρ = 1,86·10⁻⁹ / 1000 = 1,86·10⁻¹² м³

Объем шара

V = (4/3)·π·r³

Радиус капельки:

r = ∛ (3·V / (4π) = ∛ (3·1,86·10⁻¹²/(4·3,14) ) ≈ 76*10⁻⁶ м   или  76 мкм

Answer 2

Для определения радиуса капельки в данном случае, мы можем использовать баланс силы электрического отталкивания и силы гравитационного притяжения между двумя капельками воды.

Сила электрического отталкивания между двумя точечными зарядами выражается формулой:

$F_{\text{эл}} = \frac{{k \cdot q^2}}{r^2},$

где $k$ - постоянная Кулона ($\approx 8.99 \times 10^9 \ \text{Н м}^2/\text{Кл}^2$), $q$ - заряд каждой капельки ($q = e$), а $r$ - расстояние между капельками.

Сила гравитационного притяжения между двумя сферическими каплями массы $m$ каждая выражается формулой:

$F_{\text{гр}} = \frac{{G \cdot m^2}}{r^2},$

где $G$ - гравитационная постоянная ($\approx 6.67 \times 10^{-11} \ \text{Н м}^2/\text{кг}^2$).

Так как эти силы уравновешиваются, то

$F_{\text{эл}} = F_{\text{гр}},$

$\frac{{k \cdot q^2}}{r^2} = \frac{{G \cdot m^2}}{r^2}.$

Теперь, так как масса капельки $m$ связана с её объемом $V$ и плотностью воды $\rho$ следующим образом:

$m = \rho \cdot V,$

а объем сферы равен $V = \frac{4}{3} \pi r^3$,

то мы можем переписать уравнение силы гравитации:

$\frac{{k \cdot q^2}}{r^2} = \frac{{G \cdot (\rho \cdot V)^2}}{r^2},$

$\frac{{k \cdot q^2}}{r^2} = \frac{{G \cdot (\rho \cdot (\frac{4}{3} \pi r^3))^2}}{r^2},$

$\frac{{k \cdot q^2}}{r^2} = \frac{{G \cdot \rho^2 \cdot (\frac{4}{3})^2 \cdot \pi^2 \cdot r^6}}{r^2},$

$\frac{{k \cdot q^2}}{r^2} = \frac{{G \cdot \rho^2 \cdot 16 \cdot \pi^2 \cdot r^6}}{3r^2},$

$\frac{{k \cdot q^2}}{r^2} = \frac{{16 \cdot G \cdot \rho^2 \cdot \pi^2 \cdot r^4}}{3},$

Теперь можно найти радиус $r$:

$r^4 = \frac{{3 \cdot k \cdot q^2}}{{16 \cdot G \cdot \rho^2 \cdot \pi^2}},$

$r = \sqrt[4]{\frac{{3 \cdot k \cdot q^2}}{{16 \cdot G \cdot \rho^2 \cdot \pi^2}}}.$