Question

При равноускоренном прямолинейном движении тела с ускорением a>0, м/c^2 в пути, проходимые им за последовательные секунды: 1)одинаковы 2) образуют арифметическую прогрессию с разностью в, м. 3)увеличиваются в геометрической прогрессии. 4) ни то, ни другое, ни третье. ответ объясните

Answer 1

Из перечисленных вариантов ответов правильным является 2).

Так как по условию задачи тело начинает движение без начальной скорости, то координата тела от времени изменяется по закону:

$x = \frac{at^{2} }{2}.$ (1)

За время 2t координата тела станет равной:

$x_{1} = \frac{a(2t)^{2} }{2} = 2at^{2}.$ (2)

За время 3t координата тела станет равной:

$x_{2} = \frac{a(3t)^{2} }{2} = 4.5at^{2}.$ (3)

За время 4t координата тела станет равной:

$x_{4} = \frac{a(4t)^{2} }{2} = 8at^{2}.$ (4)

И так далее…

Если мы вычтем из (2) (1), то узнаем путь пройденный телом за второй промежуток времени t:

$s_{2} = x_{1} - x = 2at^2 - \frac{at^2}{2} = 1.5at^2.$

Вычитая из (3) (2) найдем путь пройденный телом за третий равный промежуток времени:

$s_{3} = x_{2} - x_{1} = 4.5at^2 - 2at^2 = 2.5at^2.$

Вычитая из (4) (3) за следующий равный промежуток времени t:

$s_{4} = x_{3} - x_{2} = 8at^2 - 4.5at^2 = 3.5at^2.$

Найдем отношение:

$\frac{s_{2} }{s_{1} } = \frac{1.5at^2}{0.5at^2} = \frac{3}{1}$

$\frac{s_{3} }{s_{1} } = \frac{2.5at^2}{0.5at^2} = \frac{5}{1}$

$\frac{s_{4} }{s_{1} } = \frac{3.5at^2}{0.5at^2} = \frac{7}{1}$

И так далее...

Как видим, за равные промежутки времени, пройденные пути отличаются как нечетные цифры:

$s_{1} : s_{2} : s_{3} : ... : s_{n} = 1 : 3 : 5 : ... : (2n-1)$

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся уравнениями равноускоренного прямолинейного движения.

Пусть s(t) обозначает путь (расстояние), пройденное телом к моменту времени t, v(t) - его скорость в данный момент времени, а a - ускорение.

1. Если за первую секунду тело проходит s(1) метров, то за вторую секунду оно проходит s(2) = s(1) + v(1) метров, где v(1) - скорость тела к концу первой секунды. За третью секунду оно проходит s(3) = s(2) + v(2) метров и так далее.

Таким образом, пути, проходимые за последовательные секунды, будут образовывать арифметическую прогрессию с разностью v(1), v(2), v(3) и т.д. Эти значения скоростей можно найти, используя уравнение равноускоренного движения:

v(t) = at

Таким образом, скорость на протяжении времени t будет увеличиваться пропорционально времени, и пути за последовательные секунды будут образовывать арифметическую прогрессию.

2. Посчитаем путь, пройденный телом за первую секунду (s(1)):

s(1) = (1/2) * a * (1^2) = a/2

Теперь рассмотрим путь, пройденный телом за вторую секунду (s(2)):

s(2) = a + (1/2) * a * (2^2) = 5/2 * a

Таким образом, путь за вторую секунду больше пути за первую секунду, и они не образуют арифметическую прогрессию.

3. Если пути, пройденные за последовательные секунды, образуют геометрическую прогрессию, то каждый следующий путь должен быть предыдущим умноженным на одну и ту же константу r.

То есть, s(2) = r * s(1), s(3) = r * s(2), s(4) = r * s(3), и так далее.

Из предыдущего пункта мы знаем, что s(1) = a/2, а s(2) = 5/2 * a.

Таким образом, чтобы узнать, образуют ли пути геометрическую прогрессию, нужно проверить, можно ли найти константу r, такую что:

5/2 * a = r * (a/2)

Упрощая уравнение, получаем:

r = 5/4

Так как такая константа не существует (она не является рациональным числом), пути не образуют геометрическую прогрессию.

4. Таким образом, ответ на задачу - "ни то, ни другое, ни третье". Пути, проходимые телом за последовательные секунды, не образуют ни арифметическую, ни геометрическую прогрессию.