Question

Определить длину электромагнитных волн в воздухе, излучаемых колебательным контуром с индуктивностью 12 мГн. Полная энергия контура равна 0,6 мкДж, а максимальный заряд конденсатора равен 60 нКл.

Answer 1

Дано:

L = 12 мГн = 12*10⁻³ Гн

W = 0,6 мкДж = 0,6*10⁻⁶ Дж

q = 60 нКл = 60*10⁻⁹ Кл

______________

λ - ?

Энергия конденсатора:

W = q² / (2*C)

Ёмкость:

C = q² /(2*W) = (60*10⁻⁹)² / (2*0,6*10⁻⁶) = 3*10⁻⁹ Ф

Период колебаний:

T = 2π*√ (L*C) = 2*3,14*√ (12*10⁻³*3*10⁻⁹) ≈ 38*10⁻⁶ с

Длина волны:

λ = с*T = 3*10⁸*38*10⁻6 ≈ 0,9 м    (здесь с - скорость света, не путать с ёмкостью С!!!)

Answer 2

Длина электромагнитных волн, излучаемых колебательным контуром, можно определить, используя следующую формулу для расчета длины волн:

$\lambda = \frac{c}{f}$

где: $\lambda$ - длина волны (в метрах) $c$ - скорость света в вакууме ($c \approx 3 \times 10^8 \, \text{м/с}$) $f$ - частота колебаний контура (в герцах)

Чтобы найти частоту ($f$), нам необходимо знать значение индуктивности ($L$) и емкости ($C$) колебательного контура. В данном случае, у нас дана только индуктивность ($L = 12 \, \text{мГн} = 12 \times 10^{-3} \, \text{Гн}$), но нет явно указанной емкости ($C$).

Чтобы решить эту проблему, воспользуемся второй информацией: полной энергией контура и максимальным зарядом конденсатора.

Полная энергия ($E$) колебательного контура связана с его индуктивностью ($L$) и емкостью ($C$) следующим образом:

$E = \frac{1}{2} L I_{\text{max}}^2$

где: $I_{\text{max}}$ - максимальный ток в контуре (в амперах)

Также, максимальный заряд ($Q_{\text{max}}$) на конденсаторе связан с его емкостью ($C$) и напряжением ($V_{\text{max}}$) следующим образом:

$Q_{\text{max}} = C V_{\text{max}}$

Мы знаем, что полная энергия ($E = 0.6 \, \text{мкДж} = 0.6 \times 10^{-6} \, \text{Дж}$) и максимальный заряд ($Q_{\text{max}} = 60 \, \text{нКл} = 60 \times 10^{-9} \, \text{Кл}$).

Теперь, чтобы найти емкость ($C$), мы можем использовать следующее соотношение между энергией и зарядом:

$E = \frac{1}{2} C V_{\text{max}}^2$

Подставим известные значения:

$0.6 \times 10^{-6} \, \text{Дж} = \frac{1}{2} C (V_{\text{max}})^2$

$C = \frac{2 \times 0.6 \times 10^{-6} \, \text{Дж}}{(V_{\text{max}})^2}$

$C = \frac{1.2 \times 10^{-6}}{(V_{\text{max}})^2}$

Теперь нам нужно найти максимальное напряжение ($V_{\text{max}}$). Максимальное напряжение на конденсаторе достигается, когда в контуре ток обращается в ноль, и вся энергия переходит в электрическую энергию конденсатора. В этот момент, $V_{\text{max}}$ равно напряжению на конденсаторе:

$V_{\text{max}} = \frac{Q_{\text{max}}}{C} = \frac{60 \times 10^{-9} \, \text{Кл}}{1.2 \times 10^{-6}} = 50 \, \text{В}$

Теперь, когда мы знаем значение емкости ($C$) и максимального напряжения ($V_{\text{max}}$), мы можем найти частоту ($f$) колебаний контура:

$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{(12 \times 10^{-3} \, \text{Гн}) \times (50 \, \text{В})^{-2}}} \approx 885 \, \text{кГц}$

Теперь, когда у нас есть частота колебаний ($f$), мы можем найти длину волны ($\lambda$):

$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8 \, \text{м/с}}{885 \times 10^3 \, \text{Гц}} \approx 338 \, \text{м}$