Question

1. Найти разность потенциалов между центром равномерно заряженной сферы и точкой, находящейся от центра на расстоянии двух радиусов сферы

Answer 1

Потенциал внутри сферы такой же, как на её поверхности.

потенциал в центре сферы

φ=kq/R

R- радиус сферы

потенциал на расстоянии 2R от центра сферы

φ=kq/2R

разность потенциалов

φ₁-φ₂=kq(1/R-1/2R)=kq/2R

Answer 2

Для нахождения разности потенциалов между центром равномерно заряженной сферы и точкой, находящейся на расстоянии двух радиусов сферы, воспользуемся формулой для потенциала точечного заряда.

Для равномерно заряженной сферы, потенциал внутри неё (r < R) определяется следующей формулой: $V_{\text{внутри}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{R}$,

где: $V_{\text{внутри}}$ - потенциал внутри сферы, $Q$ - общий заряд сферы, $R$ - радиус сферы, $\epsilon_0$ - электрическая постоянная (приближенное значение: $8.85 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м}$).

Для точки на расстоянии $r$ от центра сферы (r > R), потенциал определяется следующей формулой для точечного заряда: $V_{\text{точка}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r}$,

где: $V_{\text{точка}}$ - потенциал в точке на расстоянии $r$ от центра сферы, $r$ - расстояние от центра сферы до точки.

Так как нас интересует разность потенциалов между центром сферы и точкой на расстоянии двух радиусов сферы ($r = 2R$), то мы можем записать: $\Delta V = V_{\text{точка}} - V_{\text{внутри}}$,

Подставим значения: $\Delta V = \left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{2R}\right) - \left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{R}\right)$, $\Delta V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{2R} - \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{R}$, $\Delta V = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{2R} - \frac{1}{R}\right)$, $\Delta V = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{2R} - \frac{2}{2R}\right)$, $\Delta V = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1-2}{2R}\right)$, $\Delta V = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{-1}{2R}\right)$, $\Delta V = -\frac{Q}{8\pi\epsilon_0R}$.

Таким образом, разность потенциалов между центром равномерно заряженной сферы и точкой, находящейся на расстоянии двух радиусов сферы, равна $-\frac{Q}{8\pi\epsilon_0R}$.