Question

Коэффициент жесткости пружины равен 10 Н/см, а масса груза 1 кг. Каковы были начальные значения смещения и скорости груза, если амплитуда колебаний 5 см, а начальная фаза 60 градусов. Помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

60° = π / 3

1)

Циклическая частота:

ω = √ (k/m) = √ (10 / 1) = √10

2)

Смещение:

x(t) = A*sin (ω*t + π/3)    см

Скорость - первая производная:

v(t) = [x(t)] ' = A*ω * cos (ω*t+π/3)

Находим:

x(0) = A*sin (ω*0 + π/3) = 5*sin (π/3) = 5*(√3/2) ≈ 4,3 см

v(0) = 5*ω * cos (ω*t+π/3) = 5*√10 *cos (π/3) = 5*√10*(1/2) ≈ 8 см/с

Answer 2

Для решения данной задачи о динамике пружинно-массовой системы, мы можем использовать уравнение гармонических колебаний.

Уравнение колебаний пружины можно записать следующим образом:

m * a = -k * x

Где: m - масса груза (1 кг) a - ускорение груза k - коэффициент жесткости пружины (10 Н/см) x - смещение груза относительно равновесия

Учитывая, что a = d²x/dt² (вторая производная смещения по времени), мы можем переписать уравнение колебаний в виде:

m * (d²x/dt²) = -k * x

Поскольку мы ищем начальные значения смещения (x) и скорости (v), мы должны взять первые производные относительно времени:

v = dx/dt

Учитывая начальную фазу, мы можем определить начальные значения смещения (x₀) и скорости (v₀) с использованием формул для гармонических колебаний:

x(t) = A * cos(ωt + φ)

где: A - амплитуда колебаний (5 см) ω - угловая частота колебаний (ω = sqrt(k/m)) t - время φ - начальная фаза (60 градусов)

Используя эти формулы, давайте рассчитаем значения смещения (x₀) и скорости (v₀).

1. Смещение (x₀): x₀ = A * cos(φ)

x₀ = 5 см * cos(60°) x₀ = 5 см * 0.5 x₀ = 2.5 см

Таким образом, начальное смещение (x₀) равно 2.5 см.

2. Скорость (v₀): v₀ = -A * ω * sin(φ)

ω = sqrt(k/m) = sqrt(10 Н/см / 1 кг) = sqrt(10 Н/см * 1000 г / 1 см) = sqrt(10000 Н/с²) = 100 Н/с

v₀ = -5 см * (100 Н/с) * sin(60°) v₀ = -5 см * 100 * 0.866 v₀ ≈ -433 см/с

Таким образом, начальная скорость (v₀) равна примерно -433 см/с.

Итак, начальные значения смещения и скорости груза составляют 2.5 см и -433 см/с соответственно.