Question

В воду, налитую в сосуд квадратного сечения с вертикальными стенками ( длинна внутренней стороны квадрата 10 см.), опускают с постоянной относительно сосуда скоростью 8 мм/с стакан с квадратным сечением со стороной 6 см. С какой скоростью поднимается вода в сосуде?

Answer 1

Ответ:

4,5 мм/с

Объяснение:

Возьмём промежуток времени t = 1 с. За это время стакан опустится в воду на глубину, равную 8 мм (исходя из данной скорости опускания) или 0,8 см.

Тогда стакан вытеснит объем воды, равный собственному объёму, погруженному в воду.

V = 0,8 см × 6 см × 6 см = 28,8 см³

Теперь смотрим приложенную схему. На ней изображён сосуд с погруженным в него стаканом в объеме. Из данной схемы можно сказать: вытесненная вода будет распределяться по свободной от стакана площади S, поднимаясь на некоторую высоту h, которую мы хотим найти.

Искомая площадь S есть ничто иное, как разность площадей большого и малого квадрата, т.е.:

S = (10 см)² - (6 см)² = 100 см² - 36 см² = 64 см²

Если умножить полученную площадь на искомую высоту, получим, очевидно, объем вытесненной воды, полученный раннее (т.к. он весь распределяется по сосуду)

Тогда Sh = V

h = V/S

h = 28,8 см³/64 см² = 0,45 см = 4,5 мм

Возвращаясь к началу задачи, вспоминаем, что на высоту 4,5 мм вода поднимается за 1 секунду. Тогда искомая скорость столбика воды - 4,5 мм/с.

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать принцип сохранения объема жидкости. Поскольку жидкость не создает и не теряет объем при перемещении, объем воды, вливаемой в сосуд, должен быть равен объему воды, вытекающей из него.

Давайте обозначим через V1 объем воды, налитой в сосуд, и через V2 объем воды, вытекающей из сосуда. Так как площадь основания обоих сосудов одинакова (квадраты), высота воды в каждом из сосудов будет обратно пропорциональна площади основания. Мы можем записать это в виде:

V1 / S1 = V2 / S2

где S1 - площадь основания сосуда, в который наливается вода, S2 - площадь основания стакана, вытекающего из сосуда.

Площадь основания сосуда: S1 = 10 см * 10 см = 100 см² = 0.01 м² Площадь основания стакана: S2 = 6 см * 6 см = 36 см² = 0.0036 м²

Теперь, у нас есть уравнение:

V1 / 0.01 м² = V2 / 0.0036 м²

Далее, нам нужно узнать, как изменяется объем V2 воды в стакане с течением времени. Это можно выразить через скорость, с которой стакан опускается в воду. Пусть V2(t) - объем воды в стакане в момент времени t, V2(0) - объем воды в стакане в начальный момент времени (когда он только опустился в воду). Тогда скорость изменения объема воды в стакане будет равна скорости опускания стакана:

dV2/dt = -8 мм/с = -0.008 м/с

Теперь у нас есть уравнение, связывающее V2 и t:

V2(t) = V2(0) - 0.008 м/с * t

В начальный момент времени, когда стакан только опустился в воду, в нем не было воды, поэтому V2(0) = 0.

Теперь, чтобы найти, с какой скоростью поднимается вода в сосуде (скорость изменения объема V1), нам нужно выразить V1 в терминах V2:

V1 = V2 + V2(t)

V1 = V2 - 0.008 м/с * t

Теперь дифференцируем V1 по времени t, чтобы найти скорость изменения V1:

dV1/dt = d(V2 - 0.008 м/с * t)/dt

dV1/dt = dV2/dt - 0.008 м/с

dV1/dt = -0.008 м/с - 0.008 м/с

dV1/dt = -0.016 м/с

Ответ: Вода поднимается в сосуде со скоростью 0.016 м/с (или 16 мм/с) вверх.