Question

1.171. Однородная пластина имеет длину a = 20,0, ширину b = 10,0 см и толщину c = 5,00 см. Масса пластины m = 2,70 кг. Начало координат помещено в центре пластины, ось х направлена параллельно стороне а, ось y – параллельно стороне b, ось z – параллельно стороне с. Найти относительно этой системы координат компоненты тензора инерции пластины и написать сам тензор.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Решение задачи смотри в прикрепленном документе:

Answer 2

Для однородного тела тензор инерции имеет диагональную форму, где каждый элемент представляет собой момент инерции тела относительно соответствующей оси. Компоненты тензора инерции для данной пластины можно вычислить следующим образом:

Для пластины с массой m, длиной a, шириной b и толщиной c, компоненты тензора инерции Ix, Iy, Iz относительно осей x, y и z соответственно вычисляются по следующим формулам:

Ix = (1/12) * m * (b^2 + c^2) Iy = (1/12) * m * (a^2 + c^2) Iz = (1/12) * m * (a^2 + b^2)

Где: a = 20.0 см = 0.2 м (по условию в см) b = 10.0 см = 0.1 м (по условию в см) c = 5.00 см = 0.05 м (по условию в см) m = 2.70 кг

Подставляем значения в формулы:

Ix = (1/12) * 2.70 * (0.1^2 + 0.05^2) ≈ 0.000225 кг·м^2 Iy = (1/12) * 2.70 * (0.2^2 + 0.05^2) ≈ 0.0016875 кг·м^2 Iz = (1/12) * 2.70 * (0.2^2 + 0.1^2) ≈ 0.003375 кг·м^2

Теперь, чтобы записать сам тензор инерции, используем полученные значения:

Тензор инерции I имеет вид:

| Ix 0 0 | | 0 Iy 0 | | 0 0 Iz |

Подставляя численные значения:

| 0.000225 0 0 | | 0 0.0016875 0 | | 0 0 0.003375 |

Единицы измерения для компонентов тензора инерции масса * длина^2, так что единицы измерения для каждого элемента будут кг·м^2.

Таким образом, тензор инерции для данной пластины в заданной системе координат выглядит следующим образом:

| 0.000225 0 0 | | 0 0.0016875 0 | | 0 0 0.003375 |