Question

Пять квалифицированных работника должны выполнить шесть разных работ, причём каждый из них должен выполнить хотя бы одну работу, а на каждую работу назначается ровно один работник. Сколько способов назначить работников на работы?

Answer 1

720

Объяснение:

это 6*5*4*3*2=720

Answer 2

Для решения данной задачи можно использовать принцип включений и исключений.

Сначала найдем общее количество способов назначить работников на работы, игнорируя ограничение "каждый работник должен выполнить хотя бы одну работу".

Есть 5 работников и 6 разных работ. Каждую работу можно назначить одному из 5 работников, что дает 5 возможных вариантов для каждой работы. Так как работы разные, мы можем независимо выбирать работника для каждой из них. Поэтому общее количество способов назначить работников на работы равно 5^6.

Однако в этом общем количестве способов учитываются и те случаи, когда некоторые работники не выполняют ни одной работы. Нам нужно исключить такие варианты.

Используем принцип включений и исключений:

• Первое включение: количество способов, когда хотя бы один работник не выполняет ни одной работы. В этом случае есть 5 возможных работников, которые не выполняют работу, и они могут выбираться из 5 работников. Остальные 4 работника должны выполнить все 6 работ. Таким образом, имеем 5 * 4^6 способов.
• Второе включение: количество способов, когда хотя бы два работника не выполняют ни одной работы. В этом случае есть 5 возможных комбинаций из 2 работников, которые не выполняют работы. Остальные 3 работника должны выполнить все 6 работ. Таким образом, имеем 5C2 * 3^6 способов.
• Третье включение: количество способов, когда хотя бы три работника не выполняют ни одной работы. В этом случае есть 5 возможных комбинаций из 3 работников, которые не выполняют работы. Остальные 2 работника должны выполнить все 6 работ. Таким образом, имеем 5C3 * 2^6 способов.

Общее количество способов назначить работников на работы, удовлетворяющих ограничениям, будет равно:

5^6 - 5 * 4^6 + 5C2 * 3^6 - 5C3 * 2^6

Выполняя вычисления:

5^6 - 5 * 4^6 + 5C2 * 3^6 - 5C3 * 2^6 = 15625 - 5 * 4096 + 10 * 729 - 10 * 64 = 15625 - 20480 + 7290 - 640 = 1

Таким образом, существует только 1 способ назначить работников на работы с заданными условиями.