Question

Определить скорость материальной точки, совершающей затухающие колебания с коэффициентом затухания 0,4 с–1 и периодом 2 с в момент времени 0,125 Т, если начальное значение амплитуды 4,4 см. начальное отклонение равно нулю.

Answer 1

Ответ:

Формула-уравнение к этой задаче, подставь и выведи из этого уравнения скорость: x=A*cos(w*t+φ)

Answer 2

Для материальной точки, совершающей затухающие колебания, уравнение движения может быть записано следующим образом:

$x(t) = A e^{-\gamma t} \cos(\omega_d t + \phi),$

где:

• $x(t)$ - отклонение от положения равновесия в момент времени $t$,
• $A$ - начальная амплитуда (в данном случае 4,4 см),
• $\gamma$ - коэффициент затухания (0,4 с^-1),
• $\omega_d$ - декрементальная угловая частота ($\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$, где $\omega_0$ - угловая частота собственных колебаний),
• $\phi$ - начальная фаза.

Период колебаний связан с угловой частотой следующим образом: $T = \frac{2\pi}{\omega_0}$, откуда $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$. В данном случае период $T = 2 с$, следовательно, $\omega_0 = \frac{2\pi}{2} = \pi с^{-1}$.

Так как начальное отклонение равно нулю ($x(0) = 0$), начальная фаза также равна нулю ($\phi = 0$).

Теперь мы можем подставить все известные значения в уравнение движения и найти скорость материальной точки в момент времени $0,125 Т$:

$x(t) = A e^{-\gamma t} \cos(\omega_d t + \phi).$

Подставляя значения, получим:

$x(0,125 Т) = 4,4 \cdot e^{-0,4 \cdot 0,125} \cdot \cos(\sqrt{\pi^2 - 0,4^2} \cdot 0,125).$

Рассчитаем численные значения:

$\omega_d = \sqrt{\pi^2 - 0,4^2} \approx \sqrt{9,87 - 0,16} \approx \sqrt{9,71} \approx 3,11 с^{-1}$.

$x(0,125 Т) = 4,4 \cdot e^{-0,05} \cdot \cos(3,11 \cdot 0,125).$

$x(0,125 Т) \approx 4,4 \cdot 0,9512 \cdot \cos(0,3888) \approx 4,18 \cdot 0,9216 \approx 3,85 см.$

Теперь, чтобы найти скорость, нам нужно взять производную от $x(t)$ по времени:

$v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = -A \gamma e^{-\gamma t} \cos(\omega_d t + \phi) - A e^{-\gamma t} \omega_d \sin(\omega_d t + \phi).$

Подставим значения и рассчитаем скорость в момент времени $0,125 Т$:

$v(0,125 Т) = -4,4 \cdot 0,4 \cdot e^{-0,4 \cdot 0,125} \cdot \cos(3,11 \cdot 0,125) - 4,4 \cdot e^{-0,4 \cdot 0,125} \cdot 3,11 \cdot \sin(3,11 \cdot 0,125).$