Question

Чему равно ускорение свободного падения на поверхности планеты, радиус которой вдвое меньше радиуса Земли, а средняя плотность вещества вдвое больше, чем у Земли?

Answer 1

Ответ:

10 м/с²

Объяснение:

Сила тяжести сообщает телу ускорение свободного падения, значит, по второму закону Ньютона

$mg=G\frac{mM}{R^2}$ или $g=G\frac{M}{R^2}$ (1) где М - масса планеты, кг; R - ее радиус, м.

Массу планеты можно найти, умножив среднюю ее плотность на её объем

$M=\rho V=\frac{4}{3}\rho \pi R^3$ (2)

Подставим (2) в (1)

$g=\frac{4}{3}G\frac{\rho \pi R^3}{R^2}=\frac{4}{3}G\rho \pi R$

Видно, что ускорение свободного падения пропорционально произведению радиуса планеты на ее плотность. Если радиус уменьшить вдвое, а плотность увеличить вдвое, то их произведение никак не изменится, значит ускорение свободного падения на этой планете будет равно земному g=10 м/с².

Answer 2

Ускорение свободного падения на поверхности планеты зависит от её массы и радиуса. Формула для расчёта ускорения свободного падения выглядит следующим образом:

$g = \frac{G \cdot M}{R^2},$

где:

• $G$ - гравитационная постоянная ($6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2$);
• $M$ - масса планеты;
• $R$ - радиус планеты.

Средняя плотность в данном контексте не влияет на значение ускорения свободного падения.

Для данной задачи планета имеет радиус вдвое меньше радиуса Земли ($R_{\text{планеты}} = \frac{1}{2} R_{\text{Земли}}$) и среднюю плотность вдвое больше, чем у Земли ($\rho_{\text{планеты}} = 2 \rho_{\text{Земли}}$).

Масса планеты $M$ можно выразить через её объём $V$ и плотность $\rho$:

$M = V \cdot \rho.$

Объём планеты связан с её радиусом следующим образом:

$V = \frac{4}{3} \pi R^3.$

Подставив это в уравнение для массы и далее в формулу ускорения свободного падения, получим:

$g_{\text{планеты}} = \frac{G \cdot M_{\text{планеты}}}{R_{\text{планеты}}^2} = \frac{G \cdot (\frac{4}{3} \pi R_{\text{планеты}}^3 \cdot \rho_{\text{планеты}})}{R_{\text{планеты}}^2}$

Подставив выражения для радиуса и плотности планеты, получим:

$g_{\text{планеты}} = \frac{G \cdot (\frac{4}{3} \pi (\frac{1}{2} R_{\text{Земли}})^3 \cdot 2 \rho_{\text{Земли}})}{(\frac{1}{2} R_{\text{Земли}})^2}$

Упростив это выражение, получим:

$g_{\text{планеты}} = \frac{4}{3} \cdot 2 \cdot \frac{G \cdot \pi \cdot \rho_{\text{Земли}} \cdot R_{\text{Земли}}^3}{(\frac{1}{2} R_{\text{Земли}})^2} = 4 \cdot \frac{G \cdot \pi \cdot \rho_{\text{Земли}} \cdot R_{\text{Земли}}^3}{\frac{1}{4} R_{\text{Земли}}^2} = 16 \cdot \frac{G \cdot \pi \cdot \rho_{\text{Земли}} \cdot R_{\text{Земли}}}{R_{\text{Земли}}} = 16 \cdot g_{\text{Земли}}.$

Таким образом, ускорение свободного падения на поверхности данной планеты будет в 16 раз больше, чем на поверхности Земли.