Question

Идеальный газ, состоящий из N молекул, дипольный момент каждой из которых р помещен в однородное электрическое поле напряженностью E. Вычислите величинувектора поляризации газа. Температура газа Т.​

Answer 1

Потенциальная энергия одного дипольчика во внешнем электрическом поле равна

$E_p= -(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}) = -pE\cos\alpha$

Где α - угол между диполем и внешним полем (может быть от нуля до 180)

Будем полагать, что в равновесном состоянии распределение диполей по энергиям задается распределением Больцмана:

$w(E_p) = C\exp(-E_p/kT)$,

Где C - некая нормировочная константа

Перейдем от распределения по энергиям к распределению по переменной $x = \cos\alpha$

$\displaystyle\\w(x) = w(E_p(x))\left|\frac{dE_p}{dx}\right| = CpE\exp(pEx/kT) = C_1\exp(pEx/kT)$

Найдем новую нормировочную константу C_1

$\displaystyle\int\limits_{-1}^1C_1\exp(pEx/kT)dx = 1\\C_1kT/pE\cdot[\exp(pE/kT)-\exp(-pE/kT)] = 1\\C_1 = \frac{pE}{2kT\sinh(pE/kT)}$

sinh - гиперболический синус.

Найдем средний косинус угла, который составляют диполные моменты молекул с полем

$\displaystyle\langle x \rangle = \int\limits_{-1}^1xC_1\exp(pEx/kT)dx = \\C_1\left(\frac{kT}{pE}\right)^2\int\limits_{-pE/kT}^{pE/kT}u\exp(u)du = \\C_1\left(\frac{kT}{pE}\right)^2\left[\exp(pE/kT)(pE/kT-1) - \exp(-pE/kT)(-pE/kT-1)\right] = \\2C_1\left(\frac{kT}{pE}\right)^2\left[\frac{pE}{kT}\cosh\frac{pE}{kT}-\sinh\frac{pE}{kT}\right] = \coth\frac{pE}{kT}-\frac{kT}{pE}$

Так как задача симметрична относительно вращений вокруг вектора поля E, средний дипольный момент газа будет иметь ненулевую проекцию только на направление этого вектора. Проекция усредненного вектора поляризации газа на это направление, соответственно, равна

$\displaystyle\\P = \frac{pN\langle x\rangle}{V} = \frac{pN}{V}\left[\coth\frac{pE}{kT} - \frac{kT}{pE}\right]$

Где V - объем газа, coth - гиперболический котангенс

Как правило, множитель pE/kT очень мал, поэтому для выражения в скобках справедливо приближенное равенство

$\displaystyle\coth\frac{pE}{kT} - \frac{kT}{pE}\approx \frac{pE}{3kT}$

Answer 2

Для вычисления величины вектора поляризации газа необходимо знать дипольный момент каждой молекулы, количество молекул и напряженность электрического поля.

Величина поляризации (P) газа определяется как сумма индивидуальных поляризаций всех молекул в газе. Для идеального газа, состоящего из N молекул, вектор поляризации (P) определяется следующим образом:

P = N * p

где p - вектор дипольного момента каждой молекулы.

В данном случае каждая молекула имеет одинаковый дипольный момент, обозначенный как p. Поэтому вектор поляризации газа можно записать как:

P = N * p

Однако для полного вычисления необходимо знать величину дипольного момента каждой молекулы (p), которая может зависеть от конкретного вещества.

Температура газа (T) не влияет на величину вектора поляризации, поскольку поляризация определяется только взаимодействием дипольных моментов с электрическим полем, а не тепловым движением молекул.

Таким образом, величина вектора поляризации газа равна P = N * p, где p - вектор дипольного момента каждой молекулы, а N - количество молекул в газе.