Question

Ракета установлена на поверхности Земли и запускается вертикально. При какой минимальной скорости, сообщенной ракете при старте, она удалится от поверхности Земли на расстояние равное двойному радиусу Земли? Изменение массы ракеты в процессе движения не учитывать.

Answer 1

Ответ:

9,1 км/с

Объяснение:

Для гравитационного поля можно ввести понятие потенциала:

$\displaystyle \phi=-G\frac{M}{R}$

Работа по удалению ракеты от поверхности земли равна разности её потенциальных энергий:

$\displaystyle A=W_2-W_1=m(\phi_2-\phi_1)=m(-G\frac{M}{3R}+G\frac{M}{R} )$

С другой стороны, эта работа равна кинетической энергии, сообщенной ракете:

$\displaystyle \frac{mv^2}{2}=mGM(\frac{1}{R}-\frac{1}{3R} )$

Отсюда, искомая скорость:

$\displaystyle v=\sqrt{2GM(\frac{1}{R}-\frac{1}{3R} )} =\sqrt{2*6.67*10^{-11}*5.97*10^{24}*(\frac{1}{6.37*10^6}-\frac{1}{3*6.37*10^6} )} =\\=9130$ м/с. или 9,1 км/с.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения энергии. Когда ракета поднимается на высоту, её кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию. Минимальная скорость, которая необходима ракете для достижения заданной высоты, будет равна скорости, при которой её кинетическая энергия равна потенциальной энергии на заданной высоте.

Давайте обозначим массу ракеты как $m$, начальную скорость как $v_0$, высоту как $h$, и радиус Земли как $R$.

Кинетическая энергия ракеты: $KE = \frac{1}{2} m v^2$

Потенциальная энергия ракеты на высоте $h$: $PE = mgh$

Здесь $g$ - ускорение свободного падения (приближенно 9.81 м/с² на поверхности Земли).

Условие минимальной скорости будет: кинетическая энергия равна потенциальной энергии на высоте $2R$:

$\frac{1}{2} m v_{\text{мин}}^2 = mgh_{2R}$

Подставляя $h_{2R} = 2R$ и упрощая, получаем:

$v_{\text{мин}}^2 = 2gh_{2R}$

$v_{\text{мин}} = \sqrt{2gh_{2R}}$

Теперь подставляем значение $g$ и подсчитываем:

$v_{\text{мин}} = \sqrt{2 \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 \cdot 2R}$

$v_{\text{мин}} = \sqrt{39.24 \, \text{м}^2/\text{с}^2 \cdot 2R}$

$v_{\text{мин}} = \sqrt{78.48 \, \text{м}^2/\text{с}^2 \cdot R}$

Таким образом, минимальная скорость, которую нужно сообщить ракете при старте, чтобы она удалась от поверхности Земли на расстояние равное двойному радиусу Земли ($2R$), составляет:

$v_{\text{мин}} = \sqrt{78.48 \, \text{м}^2/\text{с}^2 \cdot R}$

Пожалуйста, обратите внимание, что это упрощенный расчёт, который не учитывает такие факторы, как аэродинамическое сопротивление, изменение гравитационного поля с высотой и другие реалии реального мира.