Question

Зависимость угла поворота диска от времени определяется выражением f(t) = 5,0*t - 4,5*t^4 (рад). Найти среднюю угловую скорость и среднее угловое ускорение диска за промежуток времени с момента t(1) = 2 (с) до момента t(2) = 3 (с). Получить аналитические выражения для мгновенной угловой скорости и мгновенного углового ускорения диска в произвольный момент времени.

Answer 1

Ответ:

-288 рад/с

-342 рад/с²

5-18t³

-54t²

Объяснение:

Зависимость угла поворота от времени:

$\displaystyle \phi(t)=5t-4.5t^4$ рад

Мгновенное значение угловой скорости и углового ускорения можно найти взяв соответственно первую и вторую производные от угла поворота по времени:

$\displaystyle \omega(t)=\frac{d}{dt}\phi(t)=5-18t^3$ рад/с

$\displaystyle \epsilon(t)=\frac{d^2}{dt^2}\phi(t)=-54t^2$ рад/с²

Средняя угловая скорость:

$\displaystyle =\frac{\phi(t_2)-\phi(t_1)}{t_2-t_1} =\frac{5*3-4.5*3^4-(5*2-4.5*2^4)}{3-2}=-288$ рад/с

Среднее угловое ускорение:

$\displaystyle =\frac{\omega(t_2)-\omega(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{5-18*3^3-(5-18*2^3)}{3-2}=-342$ рад/с².

Answer 2

Для начала, давайте найдем угол поворота диска на моменты времени t(1) = 2 сек и t(2) = 3 сек, используя данное выражение f(t):

f(t) = 5.0t - 4.5t^4

Для t(1) = 2 сек:

f(t(1)) = 5.0 * 2 - 4.5 * 2^4 = 10 - 4.5 * 16 = 10 - 72 = -62 рад

Для t(2) = 3 сек:

f(t(2)) = 5.0 * 3 - 4.5 * 3^4 = 15 - 4.5 * 81 = 15 - 364.5 = -349.5 рад

Средняя угловая скорость (ω) за промежуток времени [t(1), t(2)] определяется как разница углов поворота на конечном и начальном моментах времени, деленная на разницу времени:

ω = (f(t(2)) - f(t(1))) / (t(2) - t(1)) ω = (-349.5 - (-62)) / (3 - 2) ω = (-349.5 + 62) / 1 ω = -287.5 рад/с

Среднее угловое ускорение (α) за этот же промежуток времени можно вычислить, разделив разницу угловых скоростей на разницу времени:

α = (ω(t(2)) - ω(t(1))) / (t(2) - t(1))

Теперь давайте найдем мгновенную угловую скорость и угловое ускорение в произвольный момент времени t.

Мгновенная угловая скорость (ω(t)) в момент времени t можно получить, взяв производную функции f(t) по времени t:

ω(t) = df(t)/dt = 5.0 - 18.0 * t^3

Мгновенное угловое ускорение (α(t)) в момент времени t можно получить, взяв производную мгновенной угловой скорости по времени t:

α(t) = dω(t)/dt = -54.0 * t^2

Таким образом, аналитические выражения для мгновенной угловой скорости и мгновенного углового ускорения в произвольный момент времени t будут:

Мгновенная угловая скорость: ω(t) = 5.0 - 18.0 * t^3 Мгновенное угловое ускорение: α(t) = -54.0 * t^2