Question

На столе покоятся два одинаковых шарика массой m каждый, скрепленные невесомой пружиной длина которой l, а жесткость k. Одному из шариков сообщили ударом скорость v в направлении, перпендикулярном прямой, соединяющей их центры. Определите эту скорость, если известно, что при движении шариков пружина растягивалась до максимальной длины, равной L. Трением пренебречь.​

Answer 1

Сразу перейдем в систему отсчета, которая будет двигаться в том же направлении со скоростью v/2. Эта СО связана с центром масс системы, и инерциальна (тк он движется равномерно). В ней центр пружины покоятся а скорости шариков (как вектора) все время равны по модулю и противоположны. В начальный момент времени они обе равны по модулю v/2

Далее, максимальное удлинение пружины будет в тот, момент, когда скорости шариков будут в новой системе отсчета перпендикулярны пружине. По закону сохранения момента импульса

$2 m v/2\cdot l/2=2m u L/2\\u = v l /2L$

А закон сохранения энергии имеет вид

$\displaystyle\\2\frac{m(v/2)^2}{2} = 2\frac{mu^2}{2} + \frac{k(L-l)^2}{2}\\v^2 = 4u^2+2k(L-l)^2/m\\v^2(1-l^2/L^2) = 2k(L-l)^2/m\\v^2(L+l)/L^2 = 2k(L-l)/m\\v = L\sqrt{\frac{2k}{m}\frac{L-l}{L+l}}$

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу. После удара одному из шариков (назовем его первым) была сообщена начальная скорость v, перпендикулярная прямой, соединяющей центры шариков. После этого система начинает двигаться.

В начальный момент времени сила упругости пружины равна нулю, так как она еще не растянута (начальная длина пружины равна l). Поэтому движение системы начинается только под действием начальной скорости первого шарика.

Когда система движется, пружина начинает растягиваться. Сила упругости пружины в данной задаче пропорциональна ее удлинению, и мы знаем, что пружина растягивается до максимальной длины L.

Сила упругости пружины F пропорциональна удлинению x:

F = -kx,

где k - коэффициент жесткости пружины.

Сила также связана с ускорением a шарика первым законом Ньютона:

F = ma,

где m - масса шарика, a - его ускорение.

Мы можем связать ускорение с удлинением пружины, используя второй закон Ньютона:

a = -kx/m.

Теперь вернемся к движению первого шарика. У нас есть начальная скорость v и ускорение a, которое можно записать как -kx/m. Это уравнение движения с постоянным ускорением:

v^2 = u^2 + 2as,

где u - начальная скорость (в данном случае v), s - перемещение шарика (удлинение пружины x).

Подставив ускорение a = -kx/m, получаем:

v^2 = u^2 - 2kx^2/m.

На максимальной длине L пружины, удлинение x будет равно L - l. Подставив это значение, получаем:

v^2 = u^2 - 2k(L - l)^2/m.

Поскольку изначально второй шарик покоился, его начальная скорость u равна нулю. Таким образом, мы получаем:

v^2 = - 2k(L - l)^2/m.

Наконец, выражая v, получаем:

v = ±√(2k(L - l)^2/m).

Из-за физического смысла задачи мы выбираем положительное значение корня:

v = √(2k(L - l)^2/m).

Это и есть искомая скорость.