Question

Груз, подвешенный на длинном резиновом жгуте, совершает колебания с периодом Т. Как изменится частота колебаний, если отрезать 1/2 длины жгута?

Answer 1

Ответ:

Возрастет в √2 раз

Объяснение:

Давайте посмотрим как зависит коэффициент жесткости жгута от его длины. Запишем закон Гука:

$\displaystyle \sigma=E\epsilon$

где $\displaystyle \sigma=\frac{F}{S}$ - нормальное напряжение, Е - модуль Юнга, $\displaystyle \epsilon=\frac{\Delta l}{l}$ -относительное удлинение жгута, таким образом:

$\displaystyle \frac{F}{S}=E\frac{\Delta l}{l}$

Разделим обе части выражения на Δl, учитывая что F/Δl=k:

$\displaystyle k=\frac{F}{\Delta l}=\frac{ES}{l}$

Значит, коэффициент жесткости жгута обратно пропорционален его длине и при укорочении жгута в 2 раза коэффициент жесткости увеличится в два раза. Согласно формуле для периода колебаний пружинного маятника:

$\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k} }$

Частота колебаний:

$\displaystyle \nu =\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi } \sqrt{\frac{k}{m} }$

Как видим, частота колебаний должна возрасти в √2 раз.

Answer 2

Если отрезать жгут пополам, то его длина уменьшится в два раза. Формула для периода колебаний математического маятника (и аналогично, для груза на резиновом жгуте) выглядит следующим образом:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

Где:

• $T$ - период колебаний,
• $L$ - длина маятника (или жгута, на котором подвешен груз),
• $g$ - ускорение свободного падения.

Если отрезать 1/2 длины жгута, то новая длина $L'$ будет равна половине изначальной длины $L$:

$L' = \frac{L}{2}$

Теперь давайте подставим новую длину в формулу для периода:

$T' = 2\pi \sqrt{\frac{L'}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{L}{2}}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{2g}}$

Как видно, новый период колебаний $T'$ будет корень из 2 раз больше, чем изначальный период $T$:

$T' = \sqrt{2} \cdot T$

Итак, если отрезать 1/2 длины жгута, частота колебаний увеличится в корень из 2 раз (приблизительно 1.414 раза).