Question

Объем пузырька воздуха, всплывающего на поверхность со дна озера, увеличился в 2 раза. Определить глубину озера. Атмосферное давление равно 98 кПа. Плотность воды равна 1000 кг/куб.м. Температура воды не меняется с глубиной

Answer 1

Ответ:

9,8 м

Объяснение:

Процесс, происходящий с пузырьком можно считать изотермическим. Для изотермического процесса универсальный газовый закон принимает вид:

$\displaystyle p_1V_1=p_2V_2$

Давление на дне озера складывается из атмосферного и гидростатического давлений:

$\displaystyle p_1=p_a+\rho g h$

Давление на поверхности равно атмосферному:

$\displaystyle p_2=p_a$

Таким образом:

$\displaystyle (p_a+\rho gh)V_1=p_aV_2$

$\displaystyle \frac{p_a+\rho g h}{p_a}=\frac{V_2}{V_1}=2$

$\displaystyle \rho g h=p_a$

$\displaystyle h=\frac{p_a}{\rho g}=\frac{98000}{1000*10}=9.8$ м.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать закон Архимеда, который гласит, что поддерживающая сила, действующая на погруженное в жидкость тело, равна весу выталкиваемой этим телом жидкости и определяется разницей плотностей тела и жидкости.

Пусть $V_1$ - объем пузырька до увеличения, а $V_2$ - объем пузырька после увеличения в 2 раза. Пусть $h$ - глубина озера, которую мы хотим найти.

Известно, что:

1. Поддерживающая сила до увеличения объема пузырька равна весу выталкиваемой воды:

$F_1 = V_1 \cdot \rho_{\text{воды}} \cdot g,$

где $\rho_{\text{воды}} = 1000 \, \text{кг/м}^3$ - плотность воды, а $g = 9.8 \, \text{м/с}^2$ - ускорение свободного падения.

2. Поддерживающая сила после увеличения объема пузырька равна весу выталкиваемой воды:

$F_2 = V_2 \cdot \rho_{\text{воды}} \cdot g.$

3. Разница между поддерживающими силами равна весу поднятой пузырьком воды:

$F_2 - F_1 = V_2 \cdot \rho_{\text{воды}} \cdot g - V_1 \cdot \rho_{\text{воды}} \cdot g = V_2 \cdot \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot (1 - \frac{V_1}{V_2}).$

4. Вес поднятой воды равен весу пузырька:

$V_2 \cdot \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot (1 - \frac{V_1}{V_2}) = V_2 \cdot \rho_{\text{воздуха}} \cdot g.$

5. Плотность воздуха $\rho_{\text{воздуха}}$ можно рассчитать по уравнению состояния идеального газа:

$P = \rho \cdot R \cdot T,$

где $P$ - давление, $\rho$ - плотность, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - температура в Кельвинах.

6. Давление воздуха внутри пузырька равно сумме атмосферного давления и давления глубины $h$:

$P_{\text{воздуха}} = P_{\text{атмосферное}} + P_{\text{глубина}},$

где $P_{\text{атмосферное}} = 98 \, \text{кПа}$, $P_{\text{глубина}} = \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot h$.

Подставляя всё в уравнение для плотности воздуха, получаем:

$P_{\text{атмосферное}} + \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot h = \rho_{\text{воздуха}} \cdot R \cdot T.$

Решая это уравнение относительно $h$, мы можем найти глубину озера.