Question

В коническом сосуде уровень воды поднимается с постоянной скоростью v 0. Как зависит от времени скорость поступления воды в сосуд через трубку сечения s? В нулевой момент времени сосуд пуст.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle v(t)=\frac{\pi v_0^3tg^2\alpha }{s}t^2$

Объяснение:

Подождем малый промежуток времени dt, тогда объем воды dV вышедший из трубы:

$\displaystyle dV=Qdt=v(t)sdt$

Тот же объем вызовет повышение уровня в коническом сосуде на dz:

$\displaystyle dV=S(z)dz$

Зависимость площади сечения сосуда от его высоты легко найти из геометрических соображений:

$\displaystyle S(z)=\pi R(z)^2=\pi z^2tg^2\alpha$

Тогда:

$\displaystyle dV=\pi z^2tg^2\alpha dz$

Приравнивая первое и второе выражения, получим:

$\displaystyle v(t)sdt=\pi z^2tg^2\alpha dz$

Разделим обе части на sdt и учтем, что dz/dt и есть скорость подъема воды в сосуде:

$\displaystyle v(t)=\frac{\pi z^2tg^2\alpha }{s}\frac{dz}{dt}=\frac{\pi z^2tg^2\alpha v_0}{s}$

Наконец, учтем что z=v₀t:

$\displaystyle v(t)=\frac{\pi v_0^3tg^2\alpha}{s}t^2$.

Answer 2

При поступлении воды в сосуд через трубку с постоянной скоростью v₀, скорость поступления воды через трубку будет оставаться постоянной на протяжении всего времени.

Пусть V(t) - объем воды в сосуде в момент времени t, и h(t) - высота уровня воды в сосуде в момент времени t.

Так как уровень воды поднимается с постоянной скоростью v₀, то:

h(t) = v₀ * t

Объем воды в сосуде можно выразить через высоту уровня воды и площадь поперечного сечения сосуда (S):

V(t) = S * h(t)

Таким образом:

V(t) = S * v₀ * t

Скорость поступления воды в сосуд через трубку, обозначим ее как Q(t), определяется изменением объема воды в сосуде по времени:

Q(t) = dV(t)/dt

Производная от V(t) по времени t равна:

dV(t)/dt = d(S * v₀ * t)/dt

dV(t)/dt = S * v₀

Таким образом, скорость поступления воды в сосуд через трубку остается постоянной и равной S * v₀, где S - площадь поперечного сечения трубки, а v₀ - постоянная скорость поступления воды.