Question

Вертикально подвешенная пружина растягивается прикрепленным к ней грузом на Δl = 0,8 см. Чему равен период Т свободных колебаний груза? (Массой пружины пренебречь.)

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Период колебаний:

T = 2π·√ (m/k)

По закону Гука:

F = k·ΔL

k = F / ΔL = m·g/ΔL

Отсюда:

m/k = ΔL/g

и тогда:

T = 2π·√ (m/k) = T = 2π·√ (ΔL/g)

T = 6,28· √ (0,008/10) ≈ 0,18 с

Answer 2

Период свободных колебаний вертикально подвешенного груза на пружине можно выразить с помощью следующей формулы:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$,

где:

• $T$ - период колебаний (в секундах)
• $m$ - масса груза (в килограммах)
• $k$ - коэффициент жесткости пружины (в Ньютонах на метр)

Для данной задачи нам дано изменение длины пружины $\Delta l = 0,8$ см. Так как массой пружины пренебрегаем, то это изменение длины связано с пружинной константой $k$ следующим образом:

$F = k \cdot \Delta l$,

где $F$ - сила, которую оказывает пружина на груз (в Ньютонах).

Сила связана с массой и ускорением груза через второй закон Ньютона:

$F = m \cdot a$,

где $a$ - ускорение (в метрах в секунду квадратных).

Подставляя выражение для силы из второго уравнения в выражение для $F$ в первом уравнении, получаем:

$k \cdot \Delta l = m \cdot a$.

Ускорение $a$ можно выразить как $a = \frac{\Delta^2 l}{T^2}$, где $\Delta^2 l$ - это изменение скорости, а $T$ - период колебаний.

Подставляем выражение для ускорения обратно в уравнение $k \cdot \Delta l = m \cdot a$:

$k \cdot \Delta l = m \cdot \frac{\Delta^2 l}{T^2}$.

Теперь можем выразить коэффициент жесткости $k$ через массу груза $m$ и период колебаний $T$:

$k = \frac{m \cdot \Delta^2 l}{T^2 \cdot \Delta l}$.

Подставляем это выражение для $k$ в формулу для периода $T$:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{m \cdot \Delta^2 l}{T^2 \cdot \Delta l}}} = 2\pi \sqrt{\frac{T^2 \cdot \Delta l}{\Delta^2 l}} = 2\pi \sqrt{\frac{T^2}{\Delta l}} = 2\pi \frac{T}{\sqrt{\Delta l}}$.

Теперь подставляем значение $\Delta l = 0,8$ см (или 0,008 м, переведя в метры):

$T = 2\pi \frac{T}{\sqrt{0,008}}$.

Теперь выразим период $T$:

$T \sqrt{0,008} = 2\pi T$.

$\sqrt{0,008} = 2\pi$.

$T = \frac{\sqrt{0,008}}{2\pi} \approx 0,089 \ \text{секунд}$.

Итак, период свободных колебаний груза составляет приблизительно 0,089 секунды.