Question

Задача 2. Купол под куполом. На гладкой горизонтальной поверхности, плотно прилегая к ней, лежат два тонкостенных полусферических колокола радиусов R и R.(R, > R,) (см. рис.). Известно, что масса внешнего колокола в 2 разабольше массы внутреннего. В верхней части внешнего колоколапроделано небольшое отверстие, через которое наливается жидкостьплотностью р. В момент, когда заполняется всё пространство междуколоколами, начинается подтекание под один из них. Определите подкакой из колоколов начнётся подтекание и найдите его массу.Примечание: объем шара радиуса R равен V = 4R' /3.​

Answer 1

Ответ:

Подтекать начнёт под большой колокол

M = 2 × pi × R^3 × p × ( 1 - pi/4 )

Объяснение:

Не придумал как решить без интегрирования по поверхности колокола вертикальной составляющей силы давления жидкости. Подскажите как обойтись без интегрирования.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать принцип Архимеда и баланс давлений. Когда пространство между колоколами начинает заполняться жидкостью, на каждый из колоколов начинает действовать поддерживающая сила Архимеда, равная весу вытесненной жидкости.

Поскольку внешний колокол массой вдвое больше массы внутреннего колокола, давление на внутренний колокол будет больше, чем на внешний.

При этом давление на определенную глубину в жидкости можно выразить через глубину h и плотность жидкости ρ следующим образом: P = ρgh, где g - ускорение свободного падения.

Поскольку оба колокола имеют одну и ту же глубину h относительно жидкости, давление на нижнюю поверхность внутреннего колокола больше, чем на внешний колокол.

Подтекание начнется под тем колоколом, который испытывает наибольшее давление на нижней поверхности.

Таким образом, чтобы определить, под каким колоколом начнется подтекание, нам нужно сравнить давления на нижние поверхности обоих колоколов на глубине h.

Давление на нижнюю поверхность внутреннего колокола: P_внут = ρgh Давление на нижнюю поверхность внешнего колокола: P_внеш = ρgh + P_атм, где P_атм - атмосферное давление.

Так как P_атм нам неизвестно, мы можем проигнорировать его в расчетах, так как разница атмосферного давления между верхней и нижней поверхностями колоколов будет одинаковой.

Таким образом, подтекание начнется под внутренним колоколом, так как давление на его нижнюю поверхность больше.

Чтобы найти массу подтекающей жидкости (или массу внешнего колокола), мы можем использовать принцип сохранения энергии. По мере заполнения пространства между колоколами жидкостью, высота жидкости будет увеличиваться. Разность потенциальных энергий между начальным и конечным состояниями равна работе, которую совершает подтекающая жидкость.

Разность потенциальных энергий: ΔU = mgh, где m - масса подтекающей жидкости.

С другой стороны, работа, совершаемая подтекающей жидкостью, равна изменению кинетической энергии: W = ΔKE = (1/2)mυ^2, где υ - скорость подтекающей жидкости.

По принципу сохранения энергии: mgh = (1/2)mυ^2 Отсюда: υ = √(2gh)

Теперь мы можем выразить массу подтекающей жидкости через скорость υ: m = ρVυ = ρ(4πR^3/3)√(2gh)

Таким образом, мы определили массу подтекающей жидкости (массу внешнего колокола) в терминах известных параметров задачи: R, ρ, g и h.