Question

Чому дорівнює середня довжина вільного пробігу молекул водню при тиску 10-3 мм. рт. ст. і температурі 50°С?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дано:

p = 1·10⁻³ мм. рт. ст = 133,3·10⁻³ Па   ≈ 0,133 Па

t = 50°C;         T = 273 + 50 = 323 К

d = 0,27·10⁻⁹ м - эффективный диаметр молекулы водорода

__________________

<λ> -  ?

1)

Эффективное сечение молекулы водорода:

σ = π·d² = 3,14·(0,27·10⁻⁹)² ≈ 2,3·10⁻¹⁹ м²

2)

Длина свободного пробега:

<λ> = k·T / (√(2)·σ·p)

<λ> = 1,38·10⁻²³·323 / (1,41·2,3·10⁻¹⁹·0,133) ≈ 0,10 м     или   10 см

Answer 2

Середня довжина вільного пробігу молекул водню можна оцінити за допомогою моделі кінцевих шарів Грецхема. Дана модель дозволяє оцінити середню відстань, яку молекула пройде, перш ніж зіткнеться з іншою молекулою чи іншими частинками.

Формула для розрахунку середньої довжини вільного пробігу виглядає так:

$\lambda = \frac{k \cdot T}{\sqrt{2} \cdot \pi \cdot d^2 \cdot P}$

де:

• $\lambda$ - середня довжина вільного пробігу,
• $k$ - константа Больцмана ($1.38 \times 10^{-23} \, \text{м}^2 \cdot \text{кг} \cdot \text{с}^{-2} \cdot \text{К}^{-1}$),
• $T$ - абсолютна температура в Кельвінах,
• $d$ - діаметр молекули (для водню діаметр складає приблизно $2.92 \times 10^{-10}$ метрів),
• $P$ - тиск.

Підставимо дані в цю формулу:

$T = 50 + 273.15 \, \text{K} = 323.15 \, \text{K}$

$d = 2.92 \times 10^{-10} \, \text{м}$

$P = 10^{-3} \, \text{мм рт. ст.} = \frac{10^{-3} \times 133.322}{1000} \, \text{Па} = 0.133322 \, \text{Па}$

Підставляючи значення в формулу, отримаємо:

$\lambda = \frac{1.38 \times 10^{-23} \, \text{м}^2 \cdot \text{кг} \cdot \text{с}^{-2} \cdot 323.15 \, \text{K}}{\sqrt{2} \cdot \pi \cdot (2.92 \times 10^{-10} \, \text{м})^2 \cdot 0.133322 \, \text{Па}} \approx 1.93 \times 10^{-7} \, \text{м}$

Отже, при заданих умовах середня довжина вільного пробігу молекул водню становитиме приблизно $1.93 \times 10^{-7}$ метра.