Question

На полюсе некоторой планеты тело весит в n=3/2 раза больше, чем на экваторе. Период обращения планеты вокруг собственной оси равен T=2 часа. Определите плотность планеты, предполагая, что она имеет форму идеального шара. Численное значение гравитационной постоянной G=6,67·10–11 Н·м2/кг2.

Answer 1

Ответ:

16354 кг/м3

Объяснение:

В приложении

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться формулой для гравитационной силы и знанием о связи между весом и гравитационной силой.

Сначала найдем разницу в гравитационной силе между полюсом и экватором планеты. Пусть M - масса планеты, R - её радиус, g_p - ускорение свободного падения на полюсе, и g_e - ускорение свободного падения на экваторе.

Мы знаем, что вес тела на поверхности планеты связан с ускорением свободного падения следующим образом:

F = m * g,

где F - сила (вес тела), m - масса тела, g - ускорение свободного падения.

Ускорение свободного падения определяется массой планеты и расстоянием от её центра:

g = G * (M / R^2).

Теперь мы можем выразить отношение ускорений на полюсе и экваторе:

g_p = G * (M / R_p^2), где R_p - радиус планеты на полюсе. g_e = G * (M / R_e^2), где R_e - радиус планеты на экваторе.

Мы также знаем, что вес на полюсе в n=3/2 раза больше, чем на экваторе:

F_p = n * F_e.

Теперь мы можем выразить вес на полюсе и экваторе через ускорения свободного падения:

m * g_p = n * m * g_e.

Теперь подставим выражения для ускорений:

G * (M / R_p^2) * m = n * G * (M / R_e^2) * m.

Масса m сокращается, и мы можем выразить R_p через R_e:

R_p^2 = (n * R_e^2).

Теперь, учитывая, что планета имеет форму идеального шара, радиус на полюсе и на экваторе связаны следующим образом:

R_e = R / cos(θ),

где θ - угол между линией, соединяющей центр планеты и точку на экваторе, и вертикальной линией.

Известно, что T - период обращения планеты вокруг собственной оси, и он составляет 2 часа. Период обращения связан с угловой скоростью вращения планеты:

T = 2π / ω,

где ω - угловая скорость в радианах в секунду. Поскольку планета вращается один раз за T, то угол θ, который она поворачивает относительно вертикали за это время, равен 2π. Таким образом, угловая скорость можно выразить как:

ω = 2π / T = 2π / (2 часа * 3600 секунд) = π / 3600 рад/сек.

Теперь мы можем выразить R_p через R:

R_p = R / cos(2π).

Теперь мы имеем два выражения для R_p:

1. R_p^2 = n * R_e^2,
2. R_p = R / cos(2π).

Подставим второе выражение в первое:

(R / cos(2π))^2 = n * R_e^2.

Теперь у нас есть уравнение для R_e:

(R / cos(2π))^2 = n * (R / cos(θ))^2.

Раскроем квадрат и упростим:

R^2 = n * R^2 / cos^2(θ).

Теперь можно сократить R^2 с обеих сторон:

1 = n / cos^2(θ).

Из этого уравнения можно выразить cos^2(θ):

cos^2(θ) = n.

Теперь мы знаем значение cos^2(θ), и можем найти cos(θ):

cos(θ) = √n.

Теперь у нас есть значение cos(θ), и мы можем найти радиус планеты на экваторе:

R_e = R / cos(θ) = R / √n.

Теперь у нас есть радиус планеты на экваторе. Чтобы найти плотность планеты, нам нужно знать её массу. Массу можно найти из ускорения свободного падения на поверхности планеты. Изначально у нас было:

g_e = G * (M / R_e^2).

Теперь у нас есть выражение для R_e:

R_e = R / √n.

Подставим его:

g_e = G * (M / (R / √n)^2).

Упростим:

g_e = G * (M / (R^2 / n)).

Используя свойство деления на дробь, мы можем переписать это уравнение:

g_e = G * (M * n / R^2).

Теперь мы можем выразить массу M:

M = (g_e * R^2) / (G * n).

Теперь, когда у нас есть масса M, мы можем найти плотность планеты:

Плотность (ρ) = M / V,

где V - объем планеты.

Планета имеет форму идеального шара, поэтому объем можно выразить следующим образом:

V = (4/3)πR^3.

Теперь мы можем выразить плотность:

Плотность (ρ) = M / [(4/3)πR^3] = [(g_e * R^2) / (G * n)] / [(4/3)πR^3].

Упростим это выражение:

Плотность (ρ) = (3 * g_e) / (4πG * n).

Теперь мы можем подставить численные значения:

G = 6.67 * 10^-11 Н·м^2/кг^2 (гравитационная постоянная), g_e - ускорение свободного падения на экваторе (мы можем найти его, используя значение Земного ускорения), n = 3/2 (отношение веса на полюсе к весу на экваторе).

Ускорение свободного падения на экваторе Земли (g_e) составляет примерно 9.81 м/с^2.

Теперь мы можем вычислить плотность:

Плотность (ρ) = (3 * 9.81 м/с^2) / (4π * 6.67 * 10^-11 Н·м^2/кг^2 * 3/2).

Рассчитаем значение:

Плотность (ρ) ≈ 3.13 * 10^17 кг/м^3.

Итак, плотность планеты составляет примерно 3.13 * 10^17 кг/м^3.